Arbeit (Physik)

Mechanische Arbeit

In den Anfängen der Mechanik im 17. Jahrhundert wurde die Arbeit noch nicht von allen Gelehrten als Kraft mal Weg definiert. Stattdessen herrschte Verwirrung über die geeignete Definition.^[1] So stand im 17. Jahrhundert insbesondere die Ansicht von Leibniz der von Descartes entgegen: Leibniz bevorzugte eine Vorform der heutigen Definition, in der die Arbeit proportional zum Weg ist, Descartes vertrat eine Proportionalität zur Zeit. Descartes Auffassung entsprach damit der alltäglichen Wahrnehmung von Arbeit als einer über eine bestimmte Zeit wirkenden Anstrengung.

Beide Auffassungen bestanden solange ungestört nebeneinander, wie die Maschinen des Altertums (Hebel, Flaschenzug oder die schiefe Ebene) lediglich im Zustand des Gleichgewichts betrachtet wurden. Hierbei ist es unerheblich, ob die Goldene Regel der Mechanik auf den gesparten Weg oder die gesparte Zeit bezogen wird. Als Leibniz allerdings 1686 in den Acta Eruditorum beide Definitionen am Beispiel des freien Falls verglich, also an einem Beispiel aus der Dynamik, erhielt er unterschiedliche Aussagen. Denn durch die seit Galilei bekannte quadratische Zunahme der Fallstrecke mit der Zeit stimmen die Aufschlagsenergien beider Definitionen nicht überein. Ein Gewicht, welches aus der vierfachen Höhe fällt, benötigt nur die zweifache Fallzeit, gewinnt in den heutigen Begriffen aber vierfache kinetische Energie.

Doch war der Streit damit nicht entschieden. Selbst Leibniz äußerte, dass auch die Varianten "Kraft mal Zeit" bzw. "Masse mal Geschwindigkeit", in heutiger Sprechweise also der Impuls, mit Vorsicht für die Bestimmung von Bewegungsenergie genutzt werden könnten. Der Begriff der mechanischen Arbeit mit seiner heutigen Definition wurde erst 1829 von Gaspard Gustave de Coriolis angegeben.^[2]

Beziehung zur Wärme

Dass Wärme sich jedenfalls teilweise in mechanische Arbeit umwandeln lässt und selbst eine Form von Energie darstellt, die auch durch mechanische Arbeit entstehen kann, war durch die Dampfmaschine (und ihre Vorläufer) sowie durch die unerschöpfliche Wärmeerzeugung durch mechanische Arbeit (s. Benjamin Thompson) in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts bekannt. Sadi Carnot erkannte 1824, dass der höchst unterschiedliche Wirkungsgrad der Erzeugung von Arbeit aus Wärme nicht nur mit Reibungs- und Wärmeverlusten zu tun hatte, sondern durch einen grundlegenden Unterschied von Wärme und Arbeit erklärt werden musste. James Prescott Joule wies ab 1843 in einer Reihe von Experimenten nach, dass die umgekehrte Umwandlung von mechanischer oder elektrischer Arbeit in Wärme immer denselben Wirkungsgrad hat, das mechanische Wärmeäquivalent. Nachdem Hermann von Helmholtz 1847 den allgemeinen Energieerhaltungssatz formuliert hatte, fand Rudolf Clausius 1850 die Gleichung für den 1. Hauptsatz der Thermodynamik, in heutiger Schreibweise ${\displaystyle \Delta U=W+Q}$.^[3] 1873 gelang es Josiah Willard Gibbs, die Energieumsätze chemischer Reaktionen in den 1. Hauptsatz einzufügen.

Einführung

Eine anschauliche Bedeutung der physikalischen Größe ist die „Mühe“, die man beim Anheben eines schweren Gegenstandes hat. Zwar kann man sich diese Aufgabe scheinbar erleichtern, indem man eine schiefe Ebene, einen Flaschenzug, einen Hydraulikheber oder ein ähnliches Hilfsmittel verwendet. Dadurch wird die erforderliche Kraft tatsächlich geringer. Derlei Hilfsmittel werden daher auch Kraftwandler genannt. Dies erkauft man sich jedoch damit, dass man eine weitere Strecke zurücklegen muss. Beispielsweise ist der geneigte Weg auf der schiefen Ebene länger als die senkrechte Höhendifferenz, um die der Gegenstand gehoben wird. Es zeigt sich, dass die Strecke im selben Maße zunimmt, wie sich die Kraft durch das Hilfsmittel verringert. (siehe Goldene Regel der Mechanik). Das Produkt aus beiden Größen „Kraft mal Weg“ ist also in allen Fällen gleich, wenn man von Reibung und ähnlichen Störeinflüssen absieht.

Daher erscheint es sinnvoll, eine physikalische Größe zu definieren, die diesen Arbeitsaufwand unabhängig von der angewendeten Methode beziffert. Diese Größe erhält die Bezeichnung Arbeit mit der Berechnungsgleichung:

${\displaystyle W=Fs}$

Hierbei ist ${\displaystyle W}$ die Arbeit, ${\displaystyle F}$ die Kraft und ${\displaystyle s}$ die zurückgelegte Strecke. (Zunächst wird vorausgesetzt, dass die Kraft konstant ist und in die Bewegungsrichtung zeigt. Eine allgemeinere Definition folgt weiter unten).

Die Einheit der Arbeit ergibt sich aus der Definitionsgleichung:

${\displaystyle [W]=[F][s]=1\,\mathrm {N\cdot m} =1\,\mathrm {J(Joule)} }$

(Anmerkung: Formal ähnelt die Einheit der Arbeit derjenigen des Drehmoments: „Newtonmeter“. Da aber die physikalischen Hintergründe völlig verschieden sind, sollten die Einheiten nicht gleichgesetzt werden).

Die Arbeit hat somit die Dimension die Energie.

Weitere Präzisierung ergibt:

• Ohne dass der Angriffspunkt der Kraft einen Weg zurücklegt, ist ${\displaystyle W=0}$, d. h. es wird keine mechanische Arbeit geleistet (zum Beispiel nicht von der ruhenden Unterlage, wenn sie ein ruhendes Gewicht einfach trägt).
• Wird der Weg in mehreren Teilstücken zurückgelegt, ist die Summe der entsprechenden Teilarbeiten, unabhängig von der getroffenen Aufteilung, immer dieselbe Arbeit ${\displaystyle W}$.
• Lässt man die Kraft mit einer anderen Richtung als der (jeweils momentanen) Bewegungsrichtung des Angriffspunkts einwirken, zählt für die Arbeit nur die zum Weg parallele Kraftkomponente. Sind Kraft und Weg rechtwinklig zueinander, so ist die Arbeit ${\displaystyle W=0}$ (z. B. wird keine Arbeit gegen die Schwerkraft geleistet, wenn ein Kofferroller horizontal rollt). Ist diese Kraftkomponente der Bewegung entgegengerichtet, ist die Arbeit negativ zu nehmen. Dann wird dem System, auf das die Kraft wirkt, nicht Energie zugeführt, sondern entzogen.

Zur Alltagserfahrung der körperlichen Arbeit bestehen manche Unterschiede:

• Schon beim bloßen Halten eines schweren Gegenstands ermüden die Muskeln, obwohl hier keine Arbeit im physikalischen Sinne verrichtet wird.
• Das Aufteilen eines Wegs in mehrere Stücke kann die gefühlte Mühe erheblich reduzieren.

Die Unterschiede erklären sich dadurch, dass allein das Hervorbringen von Muskelkraft den Körper (chemische) Energie kostet.^[4]

Beispiele

• Beschleunigungsarbeit: Eine U-Bahn mit einer Masse von 60 t wird auf einer Strecke von 100 m durch die konstante Kraft von 60 kN beschleunigt. Die Arbeit, die von den Antriebsmotoren verrichtet wird, beträgt ${\displaystyle W=Fs=60\,\mathrm {kN} \cdot \,100\mathrm {m} =6000\,\mathrm {kJ} }$. Die kinetische Energie der Bahn nimmt um den Energiebetrag ${\displaystyle 6000\,\mathrm {kJ} }$ zu.
• Hubarbeit: Ein Kran hebt auf einer Baustelle eine Palette mit Steinen von 500 kg auf das Dach in 10 m Höhe. Die Gewichtskraft beträgt ${\displaystyle G=mg=500\,\mathrm {kg} \cdot 9,81\,\mathrm {ms^{-2}} \approx 5000\,\mathrm {N} }$ Dabei verrichtet der Kran eine Arbeit von ${\displaystyle W=Gh=5000\,\mathrm {N} \cdot 10\,\mathrm {m} =50\,\mathrm {kJ} }$. Die potentielle Energie der Steine nimmt dabei um ${\displaystyle 50\,\mathrm {kJ} }$ zu.
• Beschleunigungsarbeit: Reißt in 10 m Höhe das Seil des Krans, fällt die Palette beschleunigt um ${\displaystyle h=10}$m nach unten. Die Gewichtskraft ${\displaystyle G}$ verrichtet dann die Beschleunigungsarbeit ${\displaystyle W=Gh=50\,\mathrm {kJ} }$.

Allgemeine Definition der mechanischen Arbeit

Eine mechanische Arbeit ist immer gegeben, wenn ein Körper einen Weg zurücklegt und dabei eine Kraft auf ihn wirkt. Haben Kraft und Weg nicht dieselbe Richtung, sondern schließen einen Winkel ${\displaystyle \alpha }$ (mit ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha \leq 180^{\circ }}$) ein, dann ist nur die zum Weg parallel gerichtete Komponente ${\displaystyle |{\vec {F}}|\cos \alpha }$ der Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ zu berücksichtigen, oder - mit gleichem Ergebnis - die zur Kraft parallele Komponente des Wegs. Die Definition für die von der Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$ verrichtete Arbeit lautet:

${\displaystyle W=|{\vec {F}}|\,|\Delta {\vec {s}}|\,\cos \alpha ={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {s}}}$

Die verrichtete Arbeit ${\displaystyle W}$ ist positiv, wenn die Kraft in Richtung der Bewegung weist, negativ, wenn die Kraft der Bewegung entgegen gerichtet ist, und Null, wenn sie im rechten Winkel zur Bewegungsrichtung wirkt. Wenn die Arbeit positiv ist ( ${\displaystyle W>0}$), wird dem Körper Energie zugeführt. Ist sie negativ ( ${\displaystyle W<0}$), bedeutet das, dass der betrachtete Körper an das System, das die Kraft ${\displaystyle F}$ auf ihn ausübt, die Energie ${\displaystyle |W|}$ abgibt.

Wirken mehrere Kräfte ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$ auf einen Körper ein, so kann die Gleichung zur Berechnung der Arbeit auch auf eine einzelne davon angewendet werden. Damit ermittelt man die von dieser Kraft dem Körper zugeführte Arbeit. Die insgesamt von der resultierenden Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {res.} }=\Sigma {\vec {F}}_{i}}$ verrichtete Arbeit ${\displaystyle W_{\mathrm {ges.} }}$ ist dann die Summe aller Einzelarbeiten:

${\displaystyle \sum _{i}W_{i}=\sum _{i}({\vec {F}}_{i}\cdot \Delta {\vec {s}})=\left[\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\right]\cdot \Delta {\vec {s}}={\vec {F}}_{\mathrm {res.} }\cdot \Delta {\vec {s}}=W_{\mathrm {ges.} }}$

Die Gesamtarbeit ist hierbei nicht mit der „zugeführten Arbeit“ zu verwechseln. So ist beim langsamen Heben eines Gewichts die Gesamtarbeit Null, weil die nach unten wirkende Gewichtskraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{G}=m{\vec {g}}}$ und die nach oben gerichtete hebende Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{h}=-{\vec {F}}_{G}}$ jederzeit im Gleichgewicht sind. Die vom Heber zugeführte Arbeit wird aber ausschließlich aus der hebenden Kraft bestimmt und beträgt ${\displaystyle W={\vec {F}}_{h}\cdot \Delta {\vec {s}}=-m{\vec {g}}\cdot \Delta {\vec {s}}=+mgh}$.

Besteht der Weg aus verschiedenen Teilstücken, sind die entsprechenden Teilarbeiten längs der einzelnen Wegstücke zu addieren. Wenn die Kraftkomponente ${\displaystyle |{\vec {F}}|\cos \alpha }$ längs des Wegs nicht konstant ist, denkt man sich den Weg in genügend kleine Stücke mit jeweils konstantem Wert von ${\displaystyle |{\vec {F}}|\cos \alpha }$ aufgeteilt und alle Beiträge zur Arbeit summiert. Das führt auf die allgemeine Formel für die mechanische Arbeit in Form eines Weg- oder Kurvenintegrals:

${\displaystyle W=\int _{C}{\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}}$

Darin ist ${\displaystyle C}$ der im Raum gegebene Weg, den der Angriffspunkt ${\displaystyle {\vec {s}}}$ der Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {s}})}$ von Anfang bis Ende zurücklegt.

Zusammenhang zur Energie

Wenn man von der Grundgleichung der Mechanik

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$

ausgeht und entlang eines Weges integriert, so erhält man

${\displaystyle \int _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=m\int _{C}{\vec {a}}\cdot d{\vec {s}}={\frac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})}$

Die linke Seite ergibt also genau die Arbeit ${\displaystyle W}$, während die rechte Seite die Änderung der kinetischen Energie ${\displaystyle T}$ des Körpers ist. Diese Beziehung lässt sich im so genannten Arbeitssatz zusammenfassen:

${\displaystyle W=\Delta T}$.

Falls sich die Kraft aus einem Potentialfeld ableiten lässt ( ${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V({\vec {s}})}$) – man spricht dann von einer konservativen Kraft – entspricht die verrichtete Arbeit gerade der Abnahme der potentiellen Energie:

${\displaystyle W=-\Delta V({\vec {s}})}$

Fasst man beide Gleichungen zusammen, so ergibt sich aus ${\displaystyle \Delta T=-\Delta V}$ die Beziehung

${\displaystyle T+V=\mathrm {konst.} }$

Dies ist nichts anderes als der Energieerhaltungssatz in seiner einfachsten Form für ein Massepunkt im Potentialfeld. Die Arbeit, die ein Potentialfeld an einem Massepunkt leistet, verändert dabei zwar seine kinetische Energie, nicht aber seine Gesamtenergie.

Arbeit als Energietransfer durch Systemgrenzen

Betrachtet man ein System, das aus mehreren Körpern besteht, so kann man bei den Kräften zwischen inneren und äußeren Kräften unterscheiden. Innere Kräfte sind solche, die paarweise zwischen zwei Körpern des Systems wirken, wobei das dritte newtonsche Gesetz gilt. Bei äußeren Kräften befindet sich ein Körper außerhalb der Systemgrenzen. Nehmen wir an, dass alle inneren Kräfte konservative Kräfte sind, also sich wie oben beschrieben aus Potentialfeldern ableiten lassen, dann bewirkt die Arbeit aller inneren Kräfte eine Änderung der gesamten potentiellen Energie des Systems: ${\displaystyle W_{\mathrm {int.} }=-\Delta V}$. Nach dem oben erwähnten Arbeitssatz bewirkt aber die Arbeit aller Kräfte eine Änderung der kinetischen Energie: ${\displaystyle W_{\mathrm {alle} }=\Delta T}$. Daraus folgt für die Arbeit der äußeren Kräfte:

${\displaystyle W_{\mathrm {ext.} }=W_{\mathrm {alle} }-W_{\mathrm {int.} }=\Delta T+\Delta V=\Delta E}$

In Worten: Die Arbeit, die von äußeren Kräften an dem System verrichtet wird, bewirkt eine Veränderung der gesamten Energie des Systems. Daraus ergibt sich die Vorstellung, dass Arbeit als Energiezufuhr mittels äußerer Kräfte verstanden werden kann.

Definition der Arbeit als Energietransfer

Die erweiterte Definition von Arbeit fußt auf den Grundbegriffen System, Energie und Wärme. Jedes physikalische System hat zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Energieinhalt ${\displaystyle E}$. Eine Veränderung ${\displaystyle \Delta E}$ des Energieinhalts kann nur durch Wechselwirkungen mit einem zweiten System geschehen (siehe Energieerhaltung). Ein Beispiel für eine solche Wechselwirkung ist die Übertragung von Wärme ${\displaystyle Q}$, wenn die beiden Systeme verschiedene Temperaturen haben. Alle anderen Änderungen der Energie stellen zusammen die gesamte am System geleistete Arbeit ${\displaystyle W}$ dar:

${\displaystyle W=\Delta E-Q}$.

Diese Definition stimmt in allen Fällen rein mechanischer Arbeit mit dem oben gegebenen mechanischen Begriff überein. Sie stellt eine Verallgemeinerung dieses Begriffs dar, indem sie auch auf Vorgänge wie z. B. chemische Reaktionen anwendbar ist, bei denen sich eine mechanische Kraft und eine räumliche Bewegung nicht identifizieren lassen.

Zur Anwendung des Energieerhaltungssatzes muss das System eindeutig definierte Grenzen haben. Dabei ist die Systemgrenze aber nicht immer nur räumlich zu verstehen. Auch eine Komponente eines Stoffgemischs kann als System betrachtet werden, z. B. bei einer chemischen Reaktion mit einer anderen Komponente.

Die oben aus dem mechanischen Begriff hergeleiteten Formen der Arbeit gehen immer mit einer Änderung mindestens eines äußeren Parameters einher: z. B. Position und Orientierung des Systems in einem äußeren Feld, Größe und Form der räumlichen Ausdehnung, Stärke und Richtung eines im System herrschenden elektrischen oder magnetischen Felds. Demgegenüber schließt der allgemeine Begriff von Arbeit auch mit ein, wenn die Energie eines Systems durch Übertragung von Materie von einem zweiten System verändert wird. Dies kann auch durch eine chemische Reaktion zwischen verschiedenen im System vorhandenen Stoffen geschehen, wobei jeder Stoff wie ein eigenes System behandelt wird. Der betreffende Beitrag zur Änderung ${\displaystyle \Delta E}$ der Gesamtenergie wird als Reaktionswärme oder zuweilen physikalisch genauer als chemische Arbeit bezeichnet.^[10]

Chemische Arbeit

Dehnt man den ersten Hauptsatz auch auf chemische Prozesse aus, so lautet er ${\displaystyle \Delta U=W_{mech}+W_{chem}+Q}$. Darin ist ${\displaystyle W_{chem}=\Sigma _{i}\mu _{i}\Delta N_{i}}$. Der Index ${\displaystyle i}$ nummeriert die im System vorhandenen Stoffarten, ${\displaystyle N_{i}}$ ist die Menge der ${\displaystyle i}$-ten Stoffart und ${\displaystyle \mu _{i}}$ deren chemisches Potential (alles in heutiger Notation). Die Einstufung des chemischen Energieumsatzes als Arbeit liegt darin begründet, dass die Ausdrücke ${\displaystyle W_{mech}=-p\Delta V}$ und ${\displaystyle W_{chem}=\mu \Delta N}$ sich formal ähnlich sehen, wonach die Mengen ${\displaystyle N_{i}}$ die Rolle der äußeren Parameter (hier das Volumen ${\displaystyle V}$) spielen.^[11] Zudem erfüllt dieser Energiebeitrag nicht das in der Physik seit etwa 1920 zugrundegelegte Kriterium für die Wärme. Er wird nämlich nicht von außen in das System eingebracht, sondern entsteht im Innern des Systems, wo er durch den Unterschied der Bindungsenergien der Moleküle vor und nach der Reaktion gespeist wird. Dessen ungeachtet wird dieser chemische Energiebeitrag auch öfter noch Wärme genannt und mit dem Symbol ${\displaystyle Q}$ bezeichnet, z. B. im Alltag ("Verbrennung erzeugt Wärme"), aber auch im Bereich der Chemie.

Deutung durch die Statistische Physik

Das einfache Modellsystem nicht wechselwirkender Teilchen erlaubt eine mikroskopische Deutung von Wärme und Arbeit. Sind ${\displaystyle N}$ solcher Teilchen mit Besetzungszahlen ${\displaystyle n_{i}}$ auf die Niveaus (oder auf die Phasenraumzellen) mit Energien ${\displaystyle E_{i}}$ verteilt, dann ist die Gesamtenergie

${\displaystyle E_{\mathrm {ges} }=\sum _{i=1}^{N}n_{i}\,E_{i}.}$

Eine infinitesimale Änderung von ${\displaystyle E_{\mathrm {ges} }}$ ist dann

${\displaystyle \mathrm {d} E_{\mathrm {ges} }=\sum _{i=1}^{N}E_{i}\,\mathrm {d} n_{i}+\sum _{i=1}^{N}n_{i}\,\mathrm {d} E_{i}\ .}$

Wenn sich das Teilchensystem in einem thermodynamischen Gleichgewichtszustand befindet, dann ist die Gesamtenergie gerade die innere Energie ( ${\displaystyle E_{\mathrm {ges} }=U}$) und es lässt sich zeigen, dass die beiden Summanden in dieser Gleichung den beiden Summanden im 1. Hauptsatz in der Form ${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q+\delta W}$ entsprechen. Der erste Summand stellt die durch eine reversible Zustandsänderung durch Wärme ${\displaystyle \delta Q=T\,\mathrm {d} S}$ zugeführte Energie dar, der zweite Summand die am System geleistete Arbeit, im einfachsten Fall z. B. die Volumenarbeit ${\displaystyle \delta W=-p\,\mathrm {d} V}$.^[12][13] Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \mathrm {d} }$ das vollständige Differential der dahinter benannten Zustandsgröße, während ${\displaystyle \delta }$ das inexakte Differential der betreffenden Prozessgröße kennzeichnet. Das gleiche Ergebnis folgt auch bei quantenmechanischer Behandlung.^[14] Wärme ohne Arbeit bedeutet demnach, dass sich die Gesamtenergie durch Änderung der Besetzungszahlen der Energieniveaus erhöht oder erniedrigt, während Arbeit ohne Wärme bei unveränderten Besetzungszahlen die Lage der Niveaus verschiebt. Letzteres stellt damit das mikroskopische Kriterium für einen adiabatischen Prozess dar.