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Scale-up#

Von

Marko Zlokarnik


Unter diesem angelsächsischem Begriff, der sich mittlerweile auch im deutschsprachigen Raum voll etabliert hat, wird die Maßstabsvergrößerung verstanden, d.h. die Methode, die es gestattet, Ergebnisse aus einer Laborapparatur oder aus einer halbtechnischen Versuchsanlage zuverlässig in eine großtechnische Anlage zu übertragen.

Gelegentlich stellt sich diese Aufgabe auch anders: Es existiert eine großtechnische Anlage, aber diese funktioniert nicht oder nicht zufriedenstellend, und man möchte durch entsprechende Modellversuche herausfinden, was die Ursache dafür ist und wie man sie beheben kann. Nach welchen Gesetzmäßigkeiten wird die Laborapparatur ausgelegt und nach welchen Gesetzmäßigkeiten betrieben, damit sich im Labor gleiche Bedingungen einstellen wie in der schlecht oder nicht funktionierende technischen Anlage? Nun heißt die Aufgabe zunächst „Maßstabsverkleinerung“, auf Englisch „Scale-down“, und später, wenn positive Laborergebnisse vorliegen und ins technische übertragen werden sollten, „Scale-up“. Eine verbindliche Maßstabsvergrößerung verlangt eine vollständige geometrische, stoffliche und prozesstechnische Ähnlichkeit zwischen der Modellausführung und der technischen Anlage.

Die Grundlage einer gesicherten Maßstabsübertragung ist die Dimensionsanalyse. Diese gründet sich auf der Erkenntnis, dass eine mathematische Beziehung, die ein chemisch- oder physikalisch-technisches Problem beschreibt, dimensionshomogen formuliert sein muss, wenn sie allgemein, d.h. im beliebigen Dimensionssystem gültig sein soll. Die Anwendung der Dimensionsanalyse bietet zwei bedeutende Vorteile. Der erste (A) besteht in der wesentlichen Komprimierung der Aussage und der zweite (B) in einer gesicherten Maßstabsübertragung.

(A) Was die Komprimierung der physikalisch-technischen Aussage betrifft, muss auf das sog. pi-Theorem verwiesen werden, wonach sich jede physikalische Beziehung zwischen n physikalischen Größen auf eine Beziehung zwischen m = n – r voneinander unabhängigen pi-Größen (dimensionslose Kennzahlen) reduzieren lässt. Darin bedeutet r den Rang der Dimensionsmatrix, die von den betreffenden physikalischen Größen gebildet wird und der in den meisten Fällen gleich (oder in einigen wenigen Fällen kleiner als) die Anzahl der Grunddimensionen ist, die in ihren (sekundären) Dimensionen auftreten. So wird z.B. der Strömungszustand eines Fluids im geraden, glatten Rohr, der sich durch einen Zusammenhang im 4-parametrigen dimensionsbehafteten Raum

Bild 'scale-up1'
(1)
beschreiben lässt, im dimensionslosen pi-Raum wiedergegeben, der lediglich 1-dimensional ist:

Bild 'scale-up2'
(2)
Die vier dimensionsbehafteten Prozessparameter in (1) enthalten in ihren Dimensionen drei Grunddimensionen (Masse, Länge, Zeit), also bilden sie eine einzige dimensionslose Variable (pi-Zahl), die Reynolds-Kennzahl Re genannt wird: 4 – 3 = 1.

Es bedeuten: d – Rohrdurchmesser,

Bild 'p'
und
Bild 'n'
– Dichte und dynamische Viskosität des Fluids, v –Strömungsgeschwindigkeit.

(B) Was die gesicherte Maßstabsübertragung anbetrifft, muss darauf hingewiesen werden, dass der dimensionslose pi-Raum maßstabsunabhängig, maßstabsinvariant ist. Eine erarbeitete pi-Beziehung gilt nicht nur für die untersuchten Versuchsanordnungen, sondern für die Gesamtheit der geometrisch ähnlichen Anordnungen. Jedem Punkt des durch die pi-Beziehung erfassten pi-Raumes entsprechen unendlich viele Realisierungsmöglichkeiten. Dieser Umstand ist insbesondere in Bezug auf die Änderung der Längenabmessung von Bedeutung, weil er die Grundlage einer gesicherten Maßstabsübertragung darstellt.

Literatur#

[1] J. Pawlowski: Die Ähnlichkeitstheorie in der physikalisch-technischen Forschung. Grundlagen und Anwendung. Springer-Verlag 1971

[2] M. Zlokarnik: Scale-up – Modellübertragung in der Verfahrenstechnik, 2., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Wiley-VCH 2005

[3] Th. Szirtes: Applied dimensional Analysis and Modeling. McGraw-Hill 1998