Magnetische Flussdichte

Physikalische Größe
Name	Magnetische Flussdichte
Formelzeichen	${\displaystyle {\vec {B}}}$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI Tesla (T) M·I-1·T-2

Die magnetische Flussdichte, auch magnetische Induktion, bisweilen umgangssprachlich einfach nur „Flussdichte“ oder „Magnetfeld“ genannt, ist eine physikalische Größe der Elektrodynamik, die das Formelzeichen B hat und für die Flächendichte des magnetischen Flusses steht, der senkrecht durch ein bestimmtes Flächenelement hindurchtritt.

Die magnetische Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ist – ebenso wie die elektrische Flussdichte ${\displaystyle {\vec {D}}}$ – eine gerichtete Größe, also ein Vektor, und wird aus dem Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$ hergeleitet.

Definition

Wie die elektrische Feldstärke E ist auch die magnetische Flussdichte B historisch zunächst einmal indirekt, d. h. über ihre experimentell messbare Kraftwirkung F auf bewegte elektrische Ladungen, definiert worden, die in der neueren Physik als magnetische Komponente der Lorentzkraft betrachtet und in vektorieller Schreibweise wie folgt notiert wird:

${\displaystyle {{\vec {F}}_{B}}=q\cdot {\vec {v}}\times {\vec {B}}\Leftrightarrow {{\vec {F}}_{B}}=I\cdot {\vec {s}}\times {\vec {B}}}$

mit:

• ${\displaystyle {{\vec {F}}_{B}}}$ – bewegungsbedingte Kraftwirkung auf die Ladung ${\displaystyle q}$ im Magnetfeld
• ${\displaystyle q\,}$ – elektrische Ladung, oder ${\displaystyle I\,}$ - Stromstärke
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$ – Geschwindigkeit der Ladungsbewegung, oder ${\displaystyle {\vec {s}}}$ – Länge des Wegs des elektrischen Stroms ${\displaystyle I}$ durch den untersuchten Leiter
• ${\displaystyle {\vec {B}}}$ – magnetische Flussdichte

Die erste der beiden oben aufgeführten Gleichungen wird vorwiegend für frei im Raum bewegliche Ladungen, z. B. Elektronen innerhalb einer Braunschen Röhre, benutzt, die zweite dagegen für Ladungen, die sich innerhalb von elektrischen Leitern, z. B. Drähten oder Kabeln, bewegen. Beide Gleichungen sind gleichwertig.

In den genannten Formeln ist ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ein Vektor, der in Richtung der Feldlinien des erzeugenden Magnetfelds zeigt.

Verzichtet man auf die vektorielle Schreibweise und damit die Möglichkeit, die Richtung der Kraftwirkung ${\displaystyle F_{B}}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Vektoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {B}}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {s}}}$ und ${\displaystyle {\vec {B}}}$ zu bestimmen, kann ${\displaystyle F_{B}}$ gemäß folgender Formel auch als skalare Größe berechnet werden:

${\displaystyle F_{B}=|q\cdot v|\cdot B\sin \alpha \,\Leftrightarrow F_{B}=|I\cdot s|\cdot B\sin \alpha \,}$

mit:

• ${\displaystyle q\,}$ – elektrische Ladung, oder ${\displaystyle I\,}$ - Stromstärke
• ${\displaystyle v\,}$ – Geschwindigkeit der Ladungsbewegung, oder ${\displaystyle s\,}$ – Länge des Wegs des Stroms im Leiter
• ${\displaystyle B\,}$ – Betrag der magnetischen Flussdichte
• ${\displaystyle \alpha \,}$ – Winkel zwischen der Richtung der Ladungsbewegung und der Richtung des magnetischen Flusses, oder zwischen der Richtung des Stromflusses ${\displaystyle I}$ und der Richtung des magnetischen Flusses.

Bewegt sich die elektrische Ladung q mit der Geschwindigkeit v senkrecht zur Richtung des magnetischen Flusses und/oder verläuft der untersuchte elektrische Leiter senkrecht zur magnetischen Flussrichtung, kann, da ${\displaystyle \textstyle sin\!\ \alpha }$ in diesem Fall den Wert 1 annimmt, der Zahlenwert von ${\displaystyle \textstyle B}$ gemäß folgender Gleichung auch direkt aus der Kraftwirkung ${\displaystyle \textstyle F_{B}}$ auf die Ladung bzw. den Leiter als ganzes berechnet werden:

${\displaystyle {B={\frac {F_{B}}{|q\cdot v|}}}\Leftrightarrow {B={\frac {F_{B}}{|I\cdot s|}}}}$

Betrachtet man die magnetische Flussdichte vonseiten ihres Ursprung in einem künstlich erzeugten Magnetfeld, z. B. dem einer Spule, lässt sich als alternative Definitionsgleichung der magnetischen Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}}$ auch folgende Beziehung formulieren:

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu \cdot {\vec {H}}=\mu \cdot N\cdot {\frac {I}{l}}}$

mit:

• ${\displaystyle \mu \,}$ - magnetische Permeabilität
• ${\displaystyle {\vec {H}}}$ - magnetische Feldstärke
• ${\displaystyle N\,}$ - Windungszahl der Spule
• ${\displaystyle l\,}$ - Länge der Spule
• ${\displaystyle I\,}$ - Stromstärke durch die Spule

Eine experimentelle Bestimmung der magnetischen Flussdichte ist mit Hilfe von Magnetometern möglich, preiswerter aber auch mit Hallsensoren oder Messspulen.

Maßeinheit

Die SI-Einheit der magnetischen Flussdichte ist das Tesla mit dem Einheitenzeichen T:

${\displaystyle \left[B\right]=1\,{\mathrm {kg} \over \mathrm {As^{2}} }=1\,{\mathrm {N} \over \mathrm {Am} }=1\,{\mathrm {Nm} \over \mathrm {Am^{2}} }=1\,{\mathrm {J} \over \mathrm {Am^{2}} }=1\,{\mathrm {Ws} \over \mathrm {Am^{2}} }=1\,{\mathrm {Vs} \over \mathrm {m^{2}} }=1\,\mathrm {T} }$

Eine veraltete Einheit für die magnetische Flussdichte ist weiters das Gauß mit dem Einheitenzeichen G, das allerdings in der Technik immer noch häufig verwendet wird. Es gilt 1 T = 10000 G.

Magnetische Flussdichte und magnetischer Fluss

Die magnetische Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ist als Flächendichte über folgende Beziehung mit dem magnetischen Fluss ${\displaystyle \Phi \,}$ verknüpft:

${\displaystyle \Phi =\int {\vec {B}}\cdot {\rm {{}d{\vec {A}}}}}$

Dass die Flusslinien des magnetischen Flusses in sich geschlossen sind, lässt sich mathematisch dadurch zum Ausdruck bringen, dass jedes Flächenintegral von ${\displaystyle {\vec {B}}}$ über eine beliebige geschlossene Oberfläche ${\displaystyle O}$ den Wert 0 annimmt:

${\displaystyle \oint _{O}{\vec {B}}\cdot {\rm {{}d{\vec {A}}=0}}}$

Diese Gleichung ist mathematisch gesehen eine direkte Konsequenz der homogenen Maxwellschen Gleichung

${\displaystyle {\mathrm {div} {\vec {B}}=0}}$

sowie des Gaußschen Satzes

${\displaystyle \oint _{O}{\vec {j}}\cdot {\rm {{}d{\vec {A}}=\int _{V}{div\,{\vec {j}}}\cdot {\rm {{}d^{3}r}}}}}$

für ein beliebiges Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {j}}}$ und das von ${\displaystyle O}$ eingeschlossene Volumen ${\displaystyle V}$ .

Anschaulich gesprochen: Wenn man sich ein durch eine beliebig geformte geschlossene Fläche ${\displaystyle O}$ eingeschlossenes Volumen ${\displaystyle V}$ in einem magnetischen Feld vorstellt, fließt stets genauso viel „Magnetismus“ aus ${\displaystyle V}$ durch die Oberfläche ${\displaystyle O}$ nach außen wie von außen hinein. Dies bezeichnet man als „Quellenfreiheit des magnetischen Feldes“.

Literatur

  Wikibooks: Der elektrische Strom – Eigenschaften und Wirkungen: Teil II  – Lern- und Lehrmaterialien

• Küpfmüller, K., Kohn, G., Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Eine Einführung, Springer, 16., vollst. neu bearb. u. aktualisierte Aufl., 2005, ISBN 3-540-20792-9

Weblinks

• Online-Flussdichte-Berechnung von der Firma IBS Magnet sowie weitere Formeln und Downloads von Magnet-Berechnungstabellen.