Natürliche Zahl

Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw. Oft wird auch die Null zu den natürlichen Zahlen gerechnet. Die natürlichen Zahlen bilden mit der Addition und der Multiplikation zusammen eine mathematische Struktur, die als kommutativer Halbring bezeichnet wird.

Bezeichnungskonventionen

Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Formelzeichen ${\displaystyle \mathbb {N} }$ abgekürzt.

Sie umfasst entweder die positiven ganzen Zahlen

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1;2;3;\ldots \}}$

oder die nichtnegativen ganzen Zahlen

${\displaystyle \mathbb {N} =\{0;1;2;3;\ldots \}}$

Beide Konventionen werden uneinheitlich verwendet. Die ältere Tradition zählt die Null nicht zu den natürlichen Zahlen (die Null wurde in Europa erst ab dem 13. Jahrhundert gebräuchlich). Diese Definition ist gängiger in mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie, in denen die Multiplikation der natürlichen Zahlen im Vordergrund steht. In der Logik, der Mengenlehre oder der Informatik[1] ist dagegen die Definition mit Null gebräuchlicher und vereinfacht die Darstellung. Im Zweifelsfall ist die verwendete Definition explizit zu nennen.

Für die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null führte Dedekind 1888 das Symbol N ein.[2] Sein Symbol wird heute stilisiert als ${\displaystyle \mathbb {N} }$ oder auch als ${\displaystyle \mathrm {I\!N} .}$ Ab 1894 gebrauchte Peano für die natürlichen Zahlen mit Null das Symbol N₀, das heute ebenfalls stilisiert und nach Peano durch ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} \cup \{0\}}$ definiert wird.[3]

Wird jedoch das Symbol ${\displaystyle \mathbb {N} }$ für die natürlichen Zahlen mit Null verwendet, dann wird die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null mit ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}{\text{, }}\mathbb {N} ^{*}{\text{, }}\mathbb {N} _{>0}{\text{, }}\mathbb {N} _{1}\,{\text{ oder }}\,\mathbb {N} \setminus \{0\}\,}$ bezeichnet. Die DIN-Norm 5473 verwendet zum Beispiel ${\displaystyle \mathbb {N} }$ für die nichtnegativen ganzen Zahlen und ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$ für die positiven ganzen Zahlen. Deutsche Schulbücher orientieren sich in einigen Bundesländern an dieser DIN-Norm, in anderen, z. B. Bayern, nicht.

Letztlich ist es eine Frage der Definition, welche der beiden Mengen man als natürlicher ansehen und somit diese Bezeichnung als sprachliche Auszeichnung zukommen lassen will.

Axiomatisierung

Richard Dedekind definierte 1888 erstmals die natürlichen Zahlen implizit durch Axiome.[2] Unabhängig von ihm stellte Giuseppe Peano 1889 ein einfacheres und zugleich formal präzises Axiomensystem auf.[4][5] Diese sogenannten Peano-Axiome haben sich durchgesetzt. Während sich das ursprüngliche Axiomensystem in Prädikatenlogik zweiter Stufe formalisieren lässt, wird heute oft eine schwächere Variante in Prädikatenlogik erster Stufe verwendet, die als Peano-Arithmetik bezeichnet wird.[6] Andere Axiomatisierungen der natürlichen Zahlen, die mit der Peano-Arithmetik verwandt sind, sind beispielsweise die Robinson-Arithmetik und die primitiv rekursive Arithmetik.

Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen

Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, sah aber keine Notwendigkeit, deren Existenz zu beweisen. John von Neumann gab eine Möglichkeit an, die natürlichen Zahlen durch Mengen darzustellen, d. h. er beschrieb ein mengentheoretisches Modell der natürlichen Zahlen.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}0&:=&&\quad \ \emptyset &&\\1&:=0'&&=\{0\}&&=\{\emptyset \}\\2&:=1'&&=\{0,1\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\\3&:=2'&&=\{0,1,2\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\\&\vdots &&&&\\n'&:=&&\quad \ \{0,1,\ldots ,n\}&&=n\cup \{n\}\end{alignedat}}}$

Zur Erklärung: Für das Startelement, die „0“, ist die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ gewählt worden. Die „1“ ist hingegen die Menge, welche die leere Menge als Element enthält. Dies sind verschiedene Mengen, denn die leere Menge „0“={} enthält kein Element, wohingegen die Menge „1“={0} genau ein Element enthält. Jeder Nachfolger ist vom Vorgänger verschieden, da die Nachfolgermenge ein Element mehr enthält als die Vorgängermenge, nämlich den Vorgänger selbst.

Die Existenz jeder einzelnen natürlichen Zahl ist mengentheoretisch schon durch recht schwache Forderungen gesichert. Für die Existenz der Menge aller natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} }$ sowie ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ benötigt man jedoch in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ein eigenes Axiom, das sogenannte Unendlichkeitsaxiom.

Eine Verallgemeinerung dieser Konstruktion (Wegfall des fünften Peano-Axioms bzw. Zulassung von weiteren Zahlen ohne Vorgänger) ergibt die Ordinalzahlen.

Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen

Die Einführung der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome ist eine Möglichkeit, die Theorie der natürlichen Zahlen zu begründen. Als Alternative kann man beim Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen axiomatisch einsteigen und die natürlichen Zahlen als Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definieren.[7] Dazu benötigt man zunächst den Begriff einer induktiven Menge.

Eine Teilmenge ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ heißt induktiv, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. 0 ist Element von ${\displaystyle M}$
2. Ist ${\displaystyle x}$ Element von ${\displaystyle M}$ , so ist auch ${\displaystyle x+1}$ Element von ${\displaystyle M}$

Dann ist ${\displaystyle \mathbb {N} }$ der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Die natürlichen Zahlen als Objekt in einer Kategorie

In jeder Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , in der es ein Endobjekt ${\displaystyle \mathbf {1} }$ gibt, lässt sich ein Objekt natürlicher Zahlen definieren. Dies ist ein Objekt ${\displaystyle N}$ zusammen mit Morphismen

${\displaystyle \mathbf {1} {\stackrel {z}{\longrightarrow }}N{\stackrel {s}{\longrightarrow }}N}$ ,

sodass für beliebige ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ -Objekte ${\displaystyle A}$ und Morphismen

${\displaystyle \mathbf {1} {\stackrel {a}{\longrightarrow }}A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A}$

genau ein ${\displaystyle h\colon N\to A}$ existiert mit ${\displaystyle h\circ z=a}$ und ${\displaystyle h\circ s=f\circ h}$ . ${\displaystyle s}$ ist dabei als Sukzessorfunktion zu verstehen.[8]

Siehe auch

• Zahlensystem
• Liste besonderer Zahlen

Literatur

• Bertrand Russell: Einführung in die mathematische Philosophie. Drei-Masken, München 1919, F. Meiner, Hamburg 2006, ISBN 3-7873-1602-7.
• Johannes Lenhard, Michael Otte (Hrsg.): Einführung in die mathematische Philosophie. F. Meiner, Hamburg 2002, ISBN 3-7873-1602-7.
• Harald Scheid: Zahlentheorie. 2. Auflage. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-14842-X.
• Wolfgang Rautenberg: Messen und Zählen. Heldermann Verlag, Lemgo 2007, ISBN 978-3-88538-118-1. 

Weblinks

  Wiktionary: natürliche Zahl  – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

1. ↑ z. B. Edsger W. Dijkstra: Why numbering should start at zero. 11. August 1982
2. 1 2 Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen?, Braunschweig 1888.
3. ↑ Peano: Opere scelte II, S. 124. Definition in: Peano, Opere scelte III, S. 225
4. ↑ Peano: Arithmetices principia nova methodo exposita, Turin 1889
5. ↑ zur Unabhängigkeit von Dedekind siehe: Hubert Kennedy: The origins of modern Axiomatics, in: American Mathematical monthly, 79 (1972), S. 133–136. Auch in: Kennedy: Giuseppe Peano, San Francisco, 2002, S. 35 f.
6. ↑ Rautenberg (2007), Kap. 11
7. ↑ Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. Walter de Gruyter, Berlin 2000, ISBN 978-3110167795, S. 21–23
8. ↑ William Lawvere,Robert Rosebrugh: Sets for Mathematics. 2003, ISBN 0 521 01060 8(?!), S. 156. 

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