Seite - vi - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

vi 7. Die allgemeine Thetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 8. Verwandlungsformeln fu¨r die Thetafunktionen . . . . . . . . . . 55 9. Reihenentwicklung der Thetafunktionen nach Potenzen von q= e ω′ ωpii 56 10. Das Verschwinden der Thetafunktionen. . . . . . . . . . . . . 59 11. Aufstellung doppeltperiodischer Funktionen. . . . . . . . . . . 62 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen.. 64 12. Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion wird innerhalb eines Periodenparallelogramms ebenso oft null als unendlich . . . . . 64 13. Ordnung der doppeltperiodischen Funktion . . . . . . . . . . . 65 14. Die Summe der logarithmischen Residua ist null. Doppeltperiodische Funktionen erster Ordnung existieren nicht. . . . . . . . . . . 66 Zusatz: Die Thetafunktion ist durch ihre Definitionsgleichungen bestimmt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 15. Der Liouville’sche Satz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 16. Der Hermite’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 17. Doppeltperiodische Funktionen zweiter Ordnung und ihre Ableitun- gen. Nullwerte der letzteren . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 18. Die doppeltperiodische Funktionen dru¨cken sich rational durch eine doppeltperiodische Funktion zweiter Ordnung und ihre Ableitung aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 19. Das Quadrat der ersten Ableitung einer doppeltperiodischen Funk- tion zweiter Ordnung dru¨ckt sich rational durch diese aus. Alle ho¨hern Ableitungen dru¨cken sich rational durch die Funktion und ihre Ableitung aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 20. Zwischen zwei doppeltperiodischen Funktionen mit denselben Peri- oden besteht eine rationale Gleichung. . . . . . . . . . . . . 83 21. Jede doppeltperiodische Funktion la¨sst sich durch irgend zwei mit denselben Perioden rational ausdru¨cken . . . . . . . . . . . . 84 IV. Elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 22. Die elliptischen Funktionen su, cuund∆u . . . . . . . . . . . 88 23. s2u, c2u,∆2u sind rational durch einander ausdru¨ckbar. . . . . . 91 24. Einfu¨hrung der Modulnκ,κ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 25. Verwandlungsformeln fu¨r die elliptischen Funktionen . . . . . . . 95 26. Die Ableitungen der elliptischen Funktionen werden durch diese aus- gedru¨ckt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 V. Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen. . . . . 100 27. Die Existenz des Additionstheorems . . . . . . . . . . . . . . 100 28. Aufstellung der Formeln fu¨r die Additionstheoreme der elliptischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100