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eigentlich eine Funktion der unabha¨ngigen Variablen x und y, und es ist
daher
dw
dz = ∂w
∂xdx+ ∂w
∂xdy
dx+ idy = ∂w
∂x+ ∂w
∂y dy
dx
1+ idydx ;
also wu¨rde dwdz von dy
dx d. h. von der Richtung, in welcher wir dasdz nehmen,
abha¨ngen, wennw eine ganz beliebige Funktion von x und y wa¨re. Damit
aber dwdz von dy
dx unabha¨ngig sei, muss ∂w
∂y = i ∂w
∂x, denn dann wird
∂w
∂z = ∂w
∂x = 1
i ∂w
∂y ,
also von dx sowohl als von dy unabha¨ngig.
Ist umgekehrtw eine Funktion von x, y und ist
∂w
∂x = 1
i ∂w
∂y ,
so istw eine Funktion von z, d. h. es kommt inw das x und y nur in der
Verbindung x+ iy vor, oder wenn ich z = x+ iy setze und ich fu¨hre in
w= f(x,y) x= z− iy ein, so dass ichw= f(z− iy) = f1(z,y) erhalte, so
darf f1 y nicht mehr enthalten. Diess ist aber leicht zu zeigen.
Es ist
dw= ∂w
∂x dx+ ∂w
∂y dy= ∂w
∂x (dx+ idy).
Da
i ∂w
∂x = ∂w
∂y
ist, also
dw= ∂w
∂x dz,
ferner
dw= ∂f1
∂z dz+ ∂f1
∂y dy,
da f1 eine Funktion von z und y sein soll,
daher(
∂w
∂x − ∂f1
∂z )
dz+ ∂f1
∂y dy= 0
und da z und y unabha¨ngige Variable sind, da es x und y waren, so folgt
∂f1
∂y = 0, d. h. f1 entha¨lt y nicht, ist also Funktion von z allein und es ist
daher
∂f1
∂z = df1
dz = ∂w
∂x .
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Titel
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Autor
- Karl Bobek
- Verlag
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Ort
- Leipzig
- Datum
- 1984
- Sprache
- deutsch
- Lizenz
- PD
- Abmessungen
- 21.0 x 29.7 cm
- Seiten
- 290
- Schlagwörter
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Kategorie
- Lehrbücher