Seite - 5 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

5 eigentlich eine Funktion der unabha¨ngigen Variablen x und y, und es ist daher dw dz = ∂w ∂xdx+ ∂w ∂xdy dx+ idy = ∂w ∂x+ ∂w ∂y dy dx 1+ idydx ; also wu¨rde dwdz von dy dx d. h. von der Richtung, in welcher wir dasdz nehmen, abha¨ngen, wennw eine ganz beliebige Funktion von x und y wa¨re. Damit aber dwdz von dy dx unabha¨ngig sei, muss ∂w ∂y = i ∂w ∂x, denn dann wird ∂w ∂z = ∂w ∂x = 1 i ∂w ∂y , also von dx sowohl als von dy unabha¨ngig. Ist umgekehrtw eine Funktion von x, y und ist ∂w ∂x = 1 i ∂w ∂y , so istw eine Funktion von z, d. h. es kommt inw das x und y nur in der Verbindung x+ iy vor, oder wenn ich z = x+ iy setze und ich fu¨hre in w= f(x,y) x= z− iy ein, so dass ichw= f(z− iy) = f1(z,y) erhalte, so darf f1 y nicht mehr enthalten. Diess ist aber leicht zu zeigen. Es ist dw= ∂w ∂x dx+ ∂w ∂y dy= ∂w ∂x (dx+ idy). Da i ∂w ∂x = ∂w ∂y ist, also dw= ∂w ∂x dz, ferner dw= ∂f1 ∂z dz+ ∂f1 ∂y dy, da f1 eine Funktion von z und y sein soll, daher( ∂w ∂x − ∂f1 ∂z ) dz+ ∂f1 ∂y dy= 0 und da z und y unabha¨ngige Variable sind, da es x und y waren, so folgt ∂f1 ∂y = 0, d. h. f1 entha¨lt y nicht, ist also Funktion von z allein und es ist daher ∂f1 ∂z = df1 dz = ∂w ∂x .