Seite - 9 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

9 zugeordnet sein. Deuten also die Buchstaben an den Achsen die positiven Richtungen an, so werden vermo¨gew= 1z die positiveu-Achse der positiven x-Achse, aber die negative v-Achse der positiven y-Achse entsprechen. Ist 0a0 = 1 undK der mit dieser La¨nge beschriebene Kreis, so ist z= a= e iϕ, und der entsprechende Punkta′=w= e−iϕ liegt daher auf einem KreiseK′ vom Radius 1, hat aber die negative Amplitude. Bewegt sich also a in der z-Ebene von a0 aus im positiven Drehungssinne, d. h. von der positiven x- Achsezurpositiveny-Achse,sowirdderentsprechendePunkta′ imnegativen Sinne den KreisK′ durchlaufen. Allen Punkten der z-Ebene, die ausserhalb des KreisesK liegen, entspre- chen Punkte derw-Ebene innerhalbK′, und umgekehrt: Punkten innerhalb K entsprechen Punkte ausserhalbK′. Denn ist z=%eiϕ, so istw= 1 % e−iϕ, und wenn %> 1, so ist 1%< 1, der Punktw liegt innerhalbK ′; ist %< 1, so ist 1%>1, der Punktw liegt ausserhalbK ′. Es wird also die ganze unendliche z-Ebene ausserhalb K auf die endliche Kreisfla¨che innerhalb K abgebildet und dem Punkte z=∞ entspricht der Punktw= 0. Jeder Richtung, in der z ins Unendliche wa¨chst, entspricht eine bestimmte Richtung, in derw sich der Null na¨hert, und je zwei Richtungen desw bilden denselben Winkel mit einander, wie die entsprechenden Richtungen von z. Hieraus ist ersichtlich, dass bei unserer Deutung der komplexen Gro¨sse z der Wert z =∞ ein einziger bestimmter Punkt ist, dessen Umgebung auf die Umgebung eines beliebigen Punktes in den kleinsten Theilen a¨hnlich abgebildet werden kann. Wir setzen zweitens w= α+βz γ+δz , woα,β,γ,δ reelle oder komplexe Konstanten bedeuten sollen. Wir untersu- chen vorerst, ob dwdz null oder unendlich werden kann. Es ist dw dz = βγ−αδ (γ+δz)2 , also kann dwdz = 0 werden fu¨r z =∞, d. h. die Umgebung des Punktes z =∞ ko¨nnte mo¨glicher Weise nicht in den kleinsten Theilen a¨hnlich auf die Umgebung des Punktesw= βδ , welcher z =∞ entspricht, abgebildet werden. Wir setzen z′ = 1z, dann wissen wir, dass die Umgebung von z =∞ isogonal auf die Umgebung von z′ = 0 abgebildet wird. Ko¨nnen wir nun