Seite - 30 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

30 Einleitung. Wie ohne weiteres ersichtlich, wirdϕ(z) fu¨r z=a1,a2 · ·· ,am nicht mehr unendlich, fu¨r jeden andern Wert von zwird aber f(z), sowohl als jedesψ(z,ah), also auchϕ(z) einen endlichen Wert haben, und daϕ(z) eine rationale Funktion ist, denn f(z) undψ(z,ah) sind solche, so istϕ(z) eine ganze rationale Funktion, mithin ϕ(z) = c0z ν+c1s ν−1 + · ··cν−1z+cν; nun ist aber ϕ(∞) =f(∞)− [ψ(∞,a1)+ψ(∞,a2)· ··+ψ(∞,am)] = 0, es muss also c0 = 0,c1 = 0,· ··cν−1 = 0,cν= 0 sein oder ϕ(z) = 0, und daher f(z)=ψ(z,a1)+ψ(z,a2)· ··+ψ(z,am), = M (1) 0 (z−a1)n1 + M (1) 1 (z−a1)n1−1 +· ··+ M (1) n1−1 z−a1 + M (2) 0 (z−a2)n2 + M (2) 1 (z−a2)n2−1 +· ··+ M (2) n2−1 z−a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + M (m) 0 (z−am)nm + M (m) 1 (z−am)nm−1 +· ··+ M (m) nm−1 z−am sein, in welcher Formf(z) in Partialbru¨che zerlegt erscheint, d. h. in Bru¨che, deren Za¨hler eine Konstante und deren Nenner eine lineare Funktion von z ist, oder eine ganze Potenz einer solchen Funktion. 13. Ist f(z) in der Umgebung des Punktes b eine eindeutige Funktion von z, welche fu¨r z= bnicht unendlich wird, also f(z) =B+B1(z−b)+B2(z−b)2 + · ·· ,