Seite - 31 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

31 so wird f′(z) =B1 +2B2(z−b)+ · ·· d. h. f′(z) ist in der Umgebung von b auch eine eindeutige Funktion und wird fu¨r z= b auch nicht unendlich. Ist aber f(z) fu¨r z= b unendlich von dernten Ordnung, also f(z) = A (z−b)n+ A1 (z−b)n−1 + · ··+ An−1 z−b+An+An+1(z−b)+ · ·· so ist f′(z) = −nA (z−b)n+1 + −(n−1)A1 (z−b)n + · ·· + An−1 (z−b)2 +An+1 +2An+2(z−b)+ · ·· eine eindeutige Funktion, welche fu¨r z = b unendlich von der (n+ 1)ten Ordnung ist. Es kann also f′(z) nur unendlich werden, wenn f(z) unendlich wird. Da- her sinddieDifferentialquotienteneiner rationalenFunktionwieder rationale Funktionen. Setzen wir (z−b)nf(z) =ϕ(z), so wird ϕ(b) = A und ϕ(z) also in na¨chster Umgebung von z− b nicht verschwinden. Denken wir uns nun um b einen kleinen KreisK geschlagen, innerhalbdessenf(z), alsoauchϕ(z)nichtnullwird,undbetrachtenwirdas∫ Kd logf(z) in demSinne genommen,dass derPunkt bbei demDurchlaufen der Peripherie links liegen bleibt. Da logf(z) =−n log(z−b)+logϕ(z) ist, so folgt:∫ K d logf(z) = ∫ K f′(z) f(z) =−n ∫ K dz z−b+ ∫ K ϕ′(z) ϕ(z) dz Es ist f′(z) f(z) in der Umgebung von b so lange eindeutig, als es f(z) ist. Nun ist ∫ K ϕ′(z) ϕ(z) dz= 0, denn ϕ′(z) ϕ(z) wird innerhalbKnichtunendlich,dennϕ(z)kannnichtverschwin- den undϕ′(z) nicht unendlich werden.