Seite - 36 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

36 Einleitung. 14. Wir untersuchen nun noch ∫ f(z)dz um einen Unstetigkeitspunkt von f(z) herum genommen. Ist b ein Unendlichkeitspunktnter Ordnung, so ist f(z) = An (z−b)n+ An−1 (z−b)n−1 + · ··+ A z−b+A0 +B1(z−b)+ · ·· Nun ist Jν= ∫ _ b dz (z−b)ν = 0, sobald ν von +1 verschieden ist. Denn setzt man z−b=%eiϕ dz= i%eiϕ dϕ, so ist Jν= i% 1−ν ∫ 2pi 0 ei(1−ν)ϕdϕ= % 1−ν 1−ν [ ei(1−ν)2pi−1]= 0 fu¨r alle positiven oder negativen ganzen Zahlen ν mit Ausnahme ν = 1. Hingegen ist J1 = ∫ _ b dz z−b= i ∫ 2pi 0 dϕ= 2pii. Also ist ∫ _ b f(z)dz=An ∫ _ b dz (z−b)n+ · ·· +A ∫ _ b dz z−b+A0 ∫ _ b dz+B1 ∫ _ b (z−b)dz+ · ··= 2piiA, da alle u¨brigen Integrale verschwinden. Man nenntA oder den Koeffizienten von (z−b)−1 in der Entwicklung der eindeutigen Funktion f(z) in der Um- gebung des Punktes bdas logarithmische Residuum des Punktes bund zwar deshalb, weil in∫ f(z)dz=C− 1 n−1An (z−b)n−1 + · ··+A log(z−b)+A0z+ · ·· , woC die Integrationskonstante bedeutet,A der Koeffizient des logarithmi- schen Gliedes ist, welches in der Entwicklung des Integrals auftritt. Da nun der Logarithmus, wie wir gleich sehen werden, in der Umgebung eines Punktes, fu¨r welchen das Argument verschwindet oder unendlich wird, nichteindeutig ist, soverdankt ∫ f(z)dz inderUmgebungdesPunktesbseine