Seite - 46 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

46 I. Doppeltperiodische Funktionen im Allgemeinen. Fig. 20. 3. Es ist also nur mo¨glich, dass Ω Ω′ = α+ iβ ist und β von Null verschieden, d. h. dass die Strecken 0Ω und 0Ω′, (Fig. 20), verschiedene Richtungen haben, es also stets mo¨glich ist ein Parallelogramm zu bilden, dessen SeitenΩ und Ω′ sind.DiesesParallelogrammheissePerioden- parallelogramm. Setzt man an das erste Periodenparallelo- gramm an jede Seite ein zweites, an diese erhal- tenen wieder andere, so erha¨lt man die ganze Ebene auf diese Art lu¨ckenlos mit solchen Par- allelogrammen u¨berdeckt. Ist v ein beliebiger Punkt der Ebene, so kann man v=mΩ+m′Ω′+ξΩ+ξ′Ω′ setzen, womundm′ ganze Zahlen bedeuten und 05 ξ51; 05 ξ′51 ist, da v notwendig in einem der konstruirten Parallelogramme liegt. Dann ist aber F(v) =f(mΩ+m′Ω′+ξΩ+ξ′Ω′) =F(ξΩ+ξ′Ω′) =F(u), wennu= ξΩ+ξ′Ω′ gesetzt wird. Der Punktu liegt aber zu Folge der Bedingung 05 ξ51; 05 ξ′51 in dem Periodenparallelogramm, welches an den Anfangspunkt angelegt ist, und man ersieht aus obiger Gleichung, dass die doppeltperiodische Funktion F(u) im ersten Periodenparallelogramm schon alle Werte annimmt, die sie u¨berhaupt annehmen kann. Es ist irrelevant, das Periodenparallelogramm geradlinig anzunehmen. Denken wir uns von 0 nach Ω und 0 nach Ω′ (Fig. 20) irgend eine sich nicht u¨berschneidende Kurve 0tΩ und 0sΩ′ gezogen, und die parallelen Sei- ten hinzuΩ′t′Ω+Ω′ undΩs′Ω+Ω′ konstruirt, so dass dieselben durch Verschiebung umΩ′ resp.Ω aus den ersteren hervorgehen, so wird ein sol- ches Parallelogramm ebenso dazu geeignet sein die ganze Ebene durch seine kongruenten Reproduktionen lu¨ckenlos zu u¨berdecken; und innerhalb eines derselben nimmt die doppeltperiodische Funktion F(u) alle ihre Werte be- reits an.