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II. Theorie der Thetafunktionen. 5. Ist f(u) = +∞∑ n=−∞ Ane 2nuωpii einekonvergenteReihe, sostellt sieeineeindeutige, einfachperiodischeFunk- tion dar. Denn es ist f(u+ω) =f(u), da e2n u+ω ω pii= e2n u ωpiie2npii= e2n u ωpii ist. Damit die Reihe konvergirt, ist notwendig und hinreichend, dass die bei- den Reihen ∞∑ n=1 Ane 2nuωpii und A0 + −1∑ n=−∞ Ane 2nuωpii=A0 + ∞∑ n=1 A−ne−2n u ωpii unbedingt konvergiren. Die Reihen konvergiren jedenfalls gleichma¨ssig und unbedingt, wenn∗) lim ∣∣∣∣An+1An e2uωpii ∣∣∣∣ n=∞ <1 (A) resp. lim ∣∣∣∣A−n+1A−n e−2uωpii ∣∣∣∣ n=∞ <1. Wir legen nun f(u) die zweite Bedingung auf, dass f(u+ω′) = e−(2u+ω′) pii ωf(u) wird, und setzenuder Bedingung (A) gema¨ss gewa¨hlt voraus. Es ist f(u+ω′) = +∞∑ n=−∞ Ane 2nuωpii+2n ω′ ωpii ∗) Vergl. Harnack: Elemente der Differential- und Integralrechnung. Leipzig 1881. S. 129 ff.