Seite - 50 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

50 II. Theorie der Thetafunktionen. Wie man sich leicht u¨berzeugt, besitzt auch f(u) die beiden verlangten Eigenschaften. Wir wollen die Bedingung fu¨r die Konvergenz der Reihe auf- stellen. Zu dem Zwecke betrachten wir zuerst die Halbreihe ∞∑ n=1 e(n 2ω′+2nu)piiω und wenden das Kriterium (A) an, dass die Reihe ∞∑ n=1 vn konvergirt, wenn lim ∣∣∣∣vn+1vn ∣∣∣∣ n=∞ <1 ist. Nun ist vn+1 vn = e[(2n+1)ω ′+2u]piiω . Setzen wir ω′ ω =α+ iβ, u ω = ξ+ iη, so wissen wir, dass β nicht null sein darf, damit wir ω und ω′ zu Perioden einer doppeltperiodischen Funktion wa¨hlen ko¨nnen. Es wird dann vn+1 vn = e(2n+1)(α+iβ)pii+2(ξ+iη)pii = e−(2n+1)βpi−2ηpi ·e[(2n+1)α+2ξ]pii, daher ∣∣∣∣vn+1vn ∣∣∣∣= e−(2n+1)βpi−2ηpi. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafu¨r, dass lim ∣∣∣∣vn+1vn ∣∣∣∣ n=∞ <1 ist, ist daher β>0. Istβ positiv, so wird lim ∣∣∣∣vn+1vn ∣∣∣∣ n=∞ = 0