Seite - 54 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

54 II. Theorie der Thetafunktionen. denn a¨ndert man ε um 2 und schreibt n−1 an Stelle von n, wodurch die ϑ(u,ε,ε′) nicht gea¨ndert wird, so ersieht man, dass die erste der Gleichungen richtig ist. Um die zweite zu verificiren beachte man, dass jeder Exponent von e in (1) um (2pi+ε)piiwa¨chst und dass e(2n+ε)pii= (−1)ε ist. Man kann also alle ϑ(u,ε,ε′) mit ganzzahligen Charakteristiken auf die vier ϑ zuru¨ckfu¨hren mit den Charakteristiken (ε,ε′) = (0,0), (0,−1), (1,0), (1,−1), welches genau unsere vier ϑ-Funktionen sind. Ersetzt man inϑ(u,ε,ε′) dasudurch u+κ′ω2 +κ ω′ 2 , woκundκ′ ganzeZahlensein sollen, sowirdderExponentvone, abgesehen vom Faktor piiω ,( n+ ε2 )2 ω′+2 ( n+ ε2 )( u+κ′ω2 +κ ω′ 2 +ε ′ω 2 ) = ( n+ ε+κ2 )2 ω′+2 ( n+ ε+κ2 )( u+ ε ′+κ′ 2 ω ) −κ24 ω′−κ ( u+ ε ′+κ′ 2 ω ) . Daher ist ϑ ( u+κ′ω2 +κ ω′ 2 ,ε,ε ′) = +∞∑ −∞ e [ (n+ε+κ2 ) 2 ω′+2(n+ε+κ2 ) ( u+ε ′+κ′ 2 ω )] pii ω ·e−κ ( u+ε ′+κ′ 2 ω+ κ 4ω ′ ) pii ω , also ϑ ( u+κ′ω2 +κ ω′ 2 ,ε,ε ′) =ϑ(u,ε+κ,ε′+κ′) ·e−κ ( u+ε ′+κ′ 2 ω+ κ 4ω ′ ) pii ω . (4) Hieraus folgt fu¨rκ= 0,κ′= 2 resp.κ= 2,κ′= 0, ϑ(u+ω ,ε,ε′) = (−1)εϑ(u,ε,ε′) ϑ(u+ω′,ε,ε′) = (−1)ε′ϑ(u,ε,ε′) ·e−(2u+ω′)piiω , (II) woraus man fu¨r die speziellen Werte der Charakteristiken die vier Paar De- finitionsgleichungen (I) fu¨r die vierϑ-Funktionen erha¨lt.