Seite - 57 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

57 Schreibtman indererstenSumme−nanStellevonn, sowirddieSumme von +∞bis +1 zu erstrecken sein, und es wird daher ϑ3(u) = 1+ ∞∑ n=1 qn 2 e−2n u ωpii+ ∞∑ n=1 qn 2 e2n u ωpii. Da die Reihen aber unbedingt konvergiren fu¨r alle endlichen u, so kann man die Glieder mit qn 2 zusammenfassen und hat ϑ3(u) = 1+ ∞∑ n=1 qn 2 ( e2n u ωpii+e−2n u ωpii ) . Da nun exi+e−xi= 2cosx ist, so ergiebt sichϑ3(u) in der Form ϑ3(u) = 1+2 ∞∑ n=1 qn 2 cos2nuωpi. A¨ndert manu um ω2 , so erha¨lt man ϑ3(u) = 1+2 ∞∑ n=1 (−1)nqn2cos2nuωpi, da cos(npi+x) = (−1)ncosx ist. Es war ferner ϑ2(u) = +∞∑ n=−∞ e[(n+ 1 2) 2ω′+2(n+12)u] pii ω = +∞∑ n=−∞ q(n+ 1 2) 2 e2(n+ 1 2)u pii ω = −1∑ n=−∞ q(n+ 1 2) 2 e2(n+ 1 2) u ωpii+ ∞∑ n=0 q(n+ 1 2) 2 e2(n+ 1 2) u ωpii. In der ersten Summe setzen wir fu¨rn,−n−1, wodurch sie von +∞ bis