Seite - 62 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

62 II. Theorie der Thetafunktionen. BetrachtetmandieFormeln (VI)S.56, soergebensichhierausdieWerte, fu¨r welche die u¨brigen ϑ-Funktionen verschwinden. Wir erhalten auf diese Art: ϑ1(u) = 0 fu¨r u=mω+m ′ω′ ϑ2(u) = 0 ” u= (m+ 1 2)ω+m ′ω′ ϑ3(u) = 0 ” u= (m+ 1 2)ω+(m ′+ 12)ω′ ϑ0(u) = 0 ” u=mω+(m ′+ 12)ω′, wobei m, m′ ganze positive oder negative Zahlen sind. Zugleich sind die Werte vonu die einzigen, fu¨r welche dieϑ-Funktionen verschwinden. 11. Mit Hilfe der aufgestellten ϑ-Funktionen ist es nun leicht, doppeltperi- odische Funktionen zu bilden. So ist ϕ(u) = c ϑ1(u) ϑ0(u) , c eine beliebige von u unabha¨ngige Gro¨sse, eine eindeutige Funktion von u, welche die Perioden 2ω undω′ besitzt. Dassϕ(u) keine Konstante ist ersieht man daraus, dass sie fu¨ru= ω ′ 2 unendlich und fu¨ru= 0 null wird. Da ferner ϕ(u+ω) = c ϑ1(u+ω) ϑ0(u+ω) =−cϑ1(u) ϑ0(u) =−ϕ(u) ist, so ist ϕ(u+2ω) =−ϕ(u+ω) =ϕ(u). Ebenso ist ϕ(u+ω′) = cϑ1(u+ω ′) ϑ0(u+ω′) = c −ϑ1(u)e−(2u+ω ′)piiω −ϑ0(u)e−(2u+ω′) pii ω = c ϑ1(u) ϑ0(u) , daher: ϕ(u+ω′) =ϕ(u).