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III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. 12. Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion wird innerhalb eines Peri- odenparallelogramms∗) ebenso oft unendlich als null. Fig. 22. Wir wollen voraussetzen, dass jede Null- oder Unendlichkeitsstelle der Funktion eine einfache ist, da, wenn dieselbe mehrfach ist, dies bei dem Za¨hlen derselben immer als ein Zusammenru¨cken mehrerer einfacher aufgefasst werden kann. Ist die Stelle u= a eine ν-fache Null- oder Unend- lichkeitsstelle, so ist auch in obigem Satze diese Stelle als ν Null- oder Unendlichkeitswerte ein- zufu¨hren. Hatalsodie doppeltperiodischeFunkti- onF(u) innerhalb des Periodenparallelogrammes 0,Ω,Ω+Ω′,Ω′ . . .mNullstellen undnUnend- lichkeitsstellen, so ist nach Satz 13 d. E., S. 34∫ A d logF(u) = 2pii(m−n), unterAdie Kontur des krummlinigen Parallelogrammes Fig. 22 verstanden. Nun ist†)∫ A d logF(u) = ∫ Ω 0 d logFu+ ∫ Ω+Ω′ Ω d logFu+ ∫ Ω′ Ω+Ω′ d logFu+ ∫ 0 Ω′ d logFu. Im zweiten Integral bewegt sich die Integrationsvariable vonΩ nachΩ+Ω′, ersetzen wir sie durch u′+Ω′, so wird u′ von 0 nachΩ′ laufen und es ist dann∫ Ω+Ω′ Ω d logFu= ∫ Ω 0 d logF(u′+Ω) = ∫ Ω′ 0 d logFu′= ∫ Ω′ 0 d logFu, daF(u′+Ω) =F(u′) ist, und das bestimmte Integral von der Integrations- variablenunabha¨ngig ist, dennderWegderselben ist vorgeschrieben.Ersetzt ∗) Wir setzen immer ein primitives Periodenparallelogramm voraus, d. h. ein solches, dessen Seiten primitive Perioden sind. Die eine Ecke mo¨ge u= 0 sein, was unwesentlich ist. †) Sollte auf dem Integrationswege ein Unstetigkeitspunkt von dlgF(u) liegen, so kann mandenselbensoaba¨ndern,dassderneueWegnichthindurchgeht,wodurchderzudiesem parallele Weg auch durch keinen solchen Punkt fu¨hren wird.