Seite - 66 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

66 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. 14. Fu¨r jede eindeutige doppeltperiodische Funktion ist die Summe der lo- garithmischen Residua null. Nach Satz 14 S. 37 ist∫ A F(u)du= 2pii n∑ ν=1 [ F(u) ] (u−αν)−1 = 2pii n∑ ν=1 Aν, wennF(αν) =∞ istund[F(u)](u−αν)−1 =Aν derKoeffizientvon(u−αν)−1 in der Entwicklung vonF(u) in der Umgebung vonαν, da wirA so wa¨hlen werden, dass der Punktu=∞ nicht innerhalb liegt. Wir nehmen alsA das Periodenparallelogramm (Fig. 22), und es ist∫ A F(u)du= ∫ Ω 0 F(u)du+ ∫ Ω+Ω′ Ω F(u)du+ ∫ Ω′ Ω+Ω′ F(u)du+ ∫ 0 Ω′ F(u)du= 0, daF(u+Ω) =F(u) undF(u+Ω′) =F(u) ist. Mithin ist n∑ 1 Aν= 0. Wa¨re nun jedesAν= 0, so ko¨nnteF(u) nur so unendlich werden, dass jede Unendlichkeitsstelle eine mehrfache wird. WirdF(u) innerhalb des Periodenparallelogramms nicht unendlich gross, so kannF(u) fu¨r keinen Wert innerhalb des Periodenparallelogramms auch verschwinden, d. h. F(u) wird u¨berhaupt fu¨r keinen endlichen Wert von u unendlichgrossodernull.DaalsoF(u) [ ebenso 1 F(u) ] alseindeutigeFunktion von u fu¨r keinen endlichen noch so grossen Wert von u unendlich werden kann, sondern stets dieselben endlichen Werte annehmen muss, die es im ersten Parallelogramme hatte, so muss F(u) von u unabha¨ngig, d. h. eine Konstante sein.∗) Daher: Jede doppeltperiodische eindeutige Funktion, welche innerhalb eines Pe- riodenparallelogrammes nicht unendlich wird, ist eine Konstante. Eindeutige doppeltperiodische Funktionen, welche nur fu¨r einen Wert von u innerhalb des Periodenparallelogrammes einfach unendlich werden, existiren nicht. ∗) Denn da F(u) fu¨r alle endlichen u endlich bleibt und eindeutig ist, so gilt um den Punkt adie Entwicklung F(u) =A+A1(u−a)+A2(u−a)2+A3(u−a)3+ · ·· fu¨r alle endlichen noch so grossen u. Wenn aber u u¨ber alle Grenzen wa¨chst, so wird die Reihe rechts auch u¨ber alle Grenzen wachsen mu¨ssen, d. h. F(u) selbst ins Unendliche wachsen mu¨ssen, wenn nichtA1= 0,A2= 0. .. , alsoF(u) =A eine Konstante ist.