Seite - 79 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

79 vorkommen, so mu¨sste die betreffende Stelle zweiter Ordnung sein, da±α oder±β auftritt und es ist Ω 2 ≡−Ω2 Ω′ 2 ≡−Ω ′ 2 Ω+Ω′ 2 ≡−Ω+Ω ′ 2 . Fu¨r diese Werte wird aber auch ϕ (c 2 +u )−ϕ(c2 +α)= (u−α)2{12ϕ′′(c2 +α)+ · ··} , da ϕ′ (c 2 +α ) = 0, wenn α≡0,Ω2 ,Ω+Ω ′ 2 , Ω′ 2 ist. Die obige Schlussweise bleibt also auch inalterirt. Wir beweisen ferner folgenden zweiten Satz: Jede ungerade doppeltperiodische Funktion la¨sst sich ausdru¨cken durch eine rationale Funktion vonϕ (c 2 +u ) allein multiplizirt mitϕ′ (c 2 +u ) . Denn ist f1(u) =−f1(−u), so ist, da ϕ′ (c 2 +u ) =−ϕ′(c2−u) f1(u) ϕ′ (c 2 +u )= f1(−u) ϕ′ (c 2−u ), d. h. f1(u) ϕ′ (c 2 +u ) ist eine gerade doppeltperiodische Funktion vonuund es ist daher f1(u) ϕ′ (c 2 +u )=R1(ϕ(c2 +u)) oder f1(u) =ϕ ′(c 2 +u ) ·R1(ϕ(c2 +u)).