Seite - 84 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

84 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. 21. Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion mit den Perioden Ω, Ω′ la¨sst sich rational durch irgend zwei doppeltperiodische Funktionen F(u) undΦ(u) ausdru¨cken, die dieselben Perioden besitzen. Wir werden beweisen, dass sich die doppeltperiodische Funktion zwei- ter Ordnung ϕ(u) und ihre Ableitung ϕ′(u) durch F(u) und Φ(u) rational ausdru¨cken lassen, wodurch dann der Satz mit Ru¨cksicht auf (18) bewiesen erscheint. Hilfssatz: Wenn zwei irreduktibele∗) algebraische Gleichungen f(x)=a0 +a1x+ · ··+anxn= 0 ϕ(x)=b0 +b1x+ · ··+bmxm= 0 eine Wurzelx= ξ gemeinschaftlich haben, so wird fu¨r diese das System der m+nGleichungen f(ξ)= 0, ξf(ξ) = 0, ξ2f(ξ) = 0 · ··ξmf(ξ)= 0 ϕ(ξ)= 0, ξϕ(ξ)= 0, ξ2ϕ(ξ)= 0 · ··ξnϕ(ξ)= 0 bestehen; eliminirt man aus denselben die darin homogen und linear auftre- tenden (m+n+1) Gro¨ssen: ξ0, ξ1, ξ2 · ··ξm+n, so ist das Resultat R= ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a0a1a2 . . . an a0a1 a2 . . . an a0 a1 a2 . . . an ... ... ... b0 b1 b2 . . . bm b0 b1 b2 . . . bm b0 b1 b2 . . . bm ... ... ... ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ f(x) a1a2 . . . xf(x) a0a1 a2 . . . x2f(x) a0 a1 a2 . . . ... ... ϕ(x) b1 b2 . . . xϕ(x) b0 b1 b2 . . . x2ϕ(x) b0 b1 . . . ... ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =P ·f+Q ·ϕ, ∗) D. h. solche Gleichungen, deren keine Wurzel einer Gleichung niedrigeren Grades, deren Koeffizienten sich rational aus denen der gegebenen zusammensetzen, genu¨gt.