Seite - 85 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

85 wo die DeterminantemZeilen deraundnZeilen der b entha¨lt. Nun ist auch S= ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a0+a1xa2a3 . . . a0xa1a2 a3 . . . a0a1 a2 . . . b0+ b1x b2 b3 . . . b0x b1 b2 b3 . . . b0 b1 b2 b3 . . . ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ f(x) a2a3 . . . xf(x) a1a2 a3 . . . x2f(x)a0a1 a2 a3 . . . ... ... ... ϕ(x) b2 b3 . . . xϕ(x) b1 b2 b3 . . . x2ϕ(x) b0 b1 b2 b3 . . . ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =P1 ·f+Q1 ·ϕ, wodieauftretendenDeterminanten jeeineZeilederaundbundeineColonne wenigerhabenalsRhat. Istnunf= 0,ϕ= 0,alsoauchR= 0,d.h.habenf und ϕ eine gemeinschaftliche Wurzel, so folgt auch S = 0; da aber S die gemeinschaftliche Wurzel nur linear entha¨lt, so ist S=S0 +S1x und es ergiebt sich ausS= 0 . . .x=−S0S1 als rationale Funktion der a und b. Es kann S1 nicht verschwinden, ohne dass f(x) = 0 und ϕ(x) = 0 zwei Wurzeln gemeinschaftlich ha¨tten.∗) Sei nun F= r(ϕ)+ϕ′r1(ϕ) r2(ϕ) , (1) Φ= %(ϕ)+ϕ′%1(ϕ) %2(ϕ) , (2) so folgen die Gleichungen [F ·r2(ϕ)−r(ϕ)]2−ϕ′2r21(ϕ) = 0, (3) [Φ ·%2(ϕ)−%(ϕ)]2−ϕ′2r21(ϕ) = 0 (4) zwischenF,ϕundΦ,ϕ.Es sei (3) inϕvomnten, (4)vommten Grade,nach- dem man irgend etwa auftretende gemeinschaftliche Faktoren unterdru¨ckt hat. Dann werden einem Werte von F im Allgemeinen n Werte von ϕ : ϕ1,ϕ2 . . .ϕn entsprechen und aus (1) ergeben sich die zugeho¨rigen Werte vonϕ′ :ϕ′1,ϕ′2 . . .ϕ′n. Soll nun fu¨r einen Wert vonF die Gleichung (3) zwei gleiche Wurzeln haben, also reduktibel sein†) als Gleichung inϕ aufgefasst, ∗) Vergleiche: Baltzer, Theorie der Determinanten, 4. Auflage, S. 109. †) Denn diese Wurzel genu¨gt f(x) = 0, df(x)dx = 0, da f(x) = 0 eine Doppelwurzel hat, und daher la¨sst sich diese rational durch die Koeffizienten von f ausdru¨cken.