Seite - 92 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

92 IV. Elliptische Funktionen. da s (ω 2 ) = 1 ist, sein. Nun ist c2(0) = 1, also istC= 1, daher ergiebt sich: c2(u) = 1−s2(u). (9) Wir haben ferner ∆2(u) =∞, u= ω′2 , ω ′ 2 ∆2(u) = 0 , u= ω+ω ′ 2 , ω+ω′ 2 . Es wird s2 ( ω+ω′ 2 ) −s2(u) fu¨ru= ω+ω′2 zweimal null, da wieder( d(s2u) du ) u=ω+ω ′ 2 = 2s′ ( ω+ω′ 2 ) s ( ω+ω′ 2 ) = 0 ist, denn s ( ω+ω′ 2 ) ist endlich und s′ ( ω+ω′ 2 ) = 0 nach (8a). Also ist, da [ s2 ( ω+ω′ 2 ) −s2(u) ] auch nur fu¨ru= ω ′ 2 unendlich von der zweiten Ordnung wird, die Perioden ω,ω′ besitzt: ∆2(u) =C [ s2 ( ω+ω′ 2 ) −s2(u) ] . Da∆2(0) = 1 ist, so folgt C= s2u s2 ( ω+ω′ 2 ), also ∆2(u) = 1− s 2(u) s2 ( ω+ω′ 2 ). (10) Mittels (9) und (10) ko¨nnen wir je zwei der Gro¨ssen s2u, c2u,∆2udurch die dritte rational ausdru¨cken. Wenn nun c(u) und∆(u) selbst nicht rational durch s(u) ausdru¨ckbar sind, so geben uns die Gleichungen (9) und (10) ein Mittel an die Hand, die erwa¨hnten Funktionen irrational durch s(u) auszudru¨cken. Denn es ist c(u) =± √ 1−s2(u), ∆(u) =± √√√√1− s2(u) s2 ( ω+ω′ 2 ).