Seite - 95 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

95 andrerseits aber ∆ (ω 2 ) = ϑ0 ϑ3 ϑ3 (ω 2 ) ϑ0 (ω 2 )=(ϑ0 ϑ3 )2 nach den Formeln auf S. 76, also ist nach (11) auch κ′= √ 1−κ2 oder κ2 +κ′2 = 1, (13) woraus nach (11) folgt: ϑ42 +ϑ 4 0 =ϑ 4 3. (13a) Durch die eingefu¨hrten Gro¨ssen ko¨nnen die Definitionsgleichungen (2) auch geschrieben werden: s(u) = 1√ κ ϑ1(u) ϑ0(u) , c(u) = √ κ′√ κ ϑ2(u) ϑ0(u) , ∆(u) = √ κ′ϑ3(u) ϑ0(u) . (2a) 25. Von Wichtigkeit fu¨r die Rechnungen mit den elliptischen Funktionen sind die Formeln fu¨r die A¨nderung derselben bei Zugabe von ω2 resp. ω′ 2 zum Argument der Funktion. Wir wollen dieselben daher ableiten. Wir haben hierzu immer nur die Formeln auf p. 60 und 61 wiederholt zu benutzen. Es ist s ( u+ ω2 ) = ϑ3 ϑ2 ϑ1 ( u+ ω2 ) ϑ0 ( u+ ω2 )= ϑ3 ϑ2 ϑ2(u) ϑ3(u) = c(u) ∆(u) . c ( u+ ω2 ) = ϑ0 ϑ2 ϑ2 ( u+ ω2 ) ϑ0 ( u+ ω2 )=−ϑ0 ϑ2 ϑ1(u) ϑ3(u) =−κ′ s(u) ∆(u) ∆ ( u+ ω2 ) = ϑ0 ϑ3 ϑ3 ( u+ ω2 ) ϑ0 ( u+ ω2 )= ϑ0 ϑ3 ϑ0(u) ϑ3(u) = κ′ ∆(u) ; s ( u+ ω ′ 2 ) = ϑ3 ϑ2 ϑ1 ( u+ ω ′ 2 ) ϑ0 ( u+ ω ′ 2 )= ϑ3 ϑ2 ϑ0(u) ϑ1(u) = 1 κs(u) c ( u+ ω ′ 2 ) = ϑ0 ϑ2 ϑ2 ( u+ ω ′ 2 ) ϑ0 ( u+ ω ′ 2 )= 1 i ϑ0 ϑ2 ϑ3(u) ϑ1(u) = 1 i ∆(u) κs(u) ∆ ( u+ ω ′ 2 ) = ϑ0 ϑ3 ϑ3 ( u+ ω ′ 2 ) ϑ0 ( u+ ω ′ 2 )= 1 i ϑ0 ϑ3 ϑ2(u) ϑ1(u) = 1 i c(u) s(u) ;