Seite - 98 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

98 IV. Elliptische Funktionen. ergiebt. Da nun s′u und cu∆u beide eindeutige doppeltperiodische Funktionen mit den Perioden 2ω,ω′ sind und die Gleichung s′u=Gcu∆u jedenfalls im Parallelogrammab′df in Fig. 24 auch dem Zeichen nach richtig ist, so besteht dieselbe fu¨r alle Werte von u. Dasselbe gilt von den andern Gleichungen. Aus c2u= 1−s2u folgt aber 2cuc′u=−2sus′u=−2suGcu∆u, also c′u=−Gsu∆u. Analog aus ∆2u= 1−κ2s2u ∆′u=−κ2Gsucu, woraus folgt, dass G1 =−κ′G, G2 = iκ′G ist, und dass also s′u=Gcu∆u, c′u=−Gsu∆u, ∆′u=−κ2Gsucu (15) sich ergiebt, daher s′u=G √ 1−s2u √ 1−κ2s2u, c′u=−κ′G √ 1−c2u √ 1+ κ2 κ′2c 2u, ∆′u= iκ′G √ 1−∆2u √ 1− 1 κ′2∆ 2u                (16) ist auch dem Zeichen nach im Parallelogrammab′df (Fig. 24) richtig, fu¨r an- dereu aber muss das Vorzeichen der Quadratwurzeln erst bestimmt werden. Fu¨r die KonstanteG ergiebt sich, daG= s′(0) ist, und aus s(u) = ϑ3 ϑ2 ϑ1(u) ϑ0(u) s′(u) = ϑ3 ϑ2 ϑ0uϑ ′ 1u−ϑ1uϑ′0u ϑ20u