Seite - 106 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

106 V. Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen. Stellen wir die erhaltenen Formeln zusammen, indem wir auch fu¨r v,−v setzen, so erhalten wir: s(u±v) = sucv∆v±svcu∆u 1−κ2s2us2v = sucv∆u±svcu∆v ∆u∆v±κ2susvcucv = s2u−s2v sucv∆v∓svcu∆u                    (19) c(u±v) = cucv∓susv∆u∆v 1−κ2s2us2v = cucv∆u∆v∓κ′2susv ∆u∆v±κ2susvcucv = sucu∆v∓svcv∆u sucv∆v∓svcu∆u                    (20) ∆(u±v) =∆u∆v∓κ 2susvcucv 1−κ2s2us2v = κ′2 +κ2c2uc2v ∆u∆v±κ2susvcucv = sucv∆u∓svcu∆v sucv∆v∓svcu∆u                    (21) Jede dieser drei Formen geht u¨ber in die anderen lediglich durch Benutzung der Gleichung (12) c2u+s2u= 1, ∆u+κ2s2u= 1. Es ergiebt sich auch noch einfach s(u+v)s(u−v) = s 2u−s2v 1−κ2s2us2v, (22) da (sucv∆v+svcu∆u)(sucv∆v−svcu∆u) = (s2u−s2v)(1−κ2s2us2v) ist.