Seite - 110 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

110 VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen. Die ersteFormel (18b)giebt,wennmandie elliptischenFunktionendurch dieϑ-Funktionen ersetzt: ϑ3 ϑ2 ·ϑ1(u+v)ϑ0(u−v)+ϑ1(u−v)ϑ0(u+v) ϑ0(u+v)ϑ0(u−v) = 2 ϑ20 ϑ22 · ϑ0uϑ1uϑ2vϑ3v ϑ20uϑ 2 0v−ϑ21uϑ21v und zufolge der zweiten Gleichung (22) ϑ2ϑ3 [ ϑ1(u+v)ϑ0(u−v)+ϑ1(u−v)ϑ0(u+v) ] = 2ϑ0uϑ1uϑ2vϑ3v, woraus durch Vertauschung vonuund v folgt ϑ2ϑ3 [ ϑ1(u+v)ϑ0(u−v)−ϑ1(u−v)ϑ0(u+v) ] = 2ϑ0vϑ1vϑ2uϑ3u. Durch Addition und Subtraktion beider erha¨lt man die Gleichungen ϑ2ϑ3ϑ1(u+v)ϑ0(u−v) =ϑ0uϑ1uϑ2vϑ3v +ϑ0vϑ1vϑ2uϑ3u ϑ2ϑ3ϑ1(u−v)ϑ0(u+v) =ϑ0uϑ1uϑ2vϑ3v −ϑ0vϑ1vϑ2uϑ3u ϑ2ϑ3ϑ2(u+v)ϑ3(u−v) =ϑ3uϑ2uϑ2vϑ3v −ϑ0vϑ1vϑ1uϑ0u ϑ2ϑ3ϑ3(u+v)ϑ2(u−v) =ϑ3uϑ2uϑ2vϑ3v +ϑ0vϑ1vϑ1uϑ0u                              (23) vonwelchendie letztenzwei ausdenerstenzwei folgendurchAenderungvon u um ω2 . 30. Die vorstehenden Formeln, welche aus dem Additionstheorem fu¨r s(u) folgten, werden wir spa¨terhin allein verwenden. Doch soll hier, unabha¨ngig von dem Vorhergehenden, ganz selbsta¨ndig ein Additionstheorem fu¨r die ϑ-Funktionen abgeleitet werden. Aus den Formeln, welche wir fu¨r die ϑ- Funktionen erhalten werden, ergiebt sich dann umgekehrt das Additions- theorem fu¨r die Funktionen su, cu, ∆u. Die im Folgenden durchgefu¨hrte Ableitung des Additionstheorems ist die von Herrn Prim im Crelle’schen Journal Bd. 93 S. 124 fu¨rϑ-Funktionen beliebig vieler Argumente gegebene.