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118 VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen. Welches Vorzeichen zu nehmen ist, entscheidet man leicht, da aus der Gleichung (f) fu¨r u= 0, v= 0, w= 0, t= 0 folgt cϑ43 =ϑ 4 3 +ϑ 4 0 +ϑ 4 2, und nach den Gleichungen auf S. 59 c [ 1+2 ∞∑ 1 qn 2 ]4 = [ 1+2 ∞∑ 1 qn 2 ]4 + [ 1+2 ∞∑ 1 (−1)nqn2 ]4 +16q [∞∑ 1 qn(n−1) ]4 fu¨r q= 0, c= +2 folgt. Wir erhalten daher als Schlussgleichung 2ϑ(2u′,η,η′)ϑ(2v′,η+%,η′+%′)ϑ(2w′,η+σ,η′+σ′) ×ϑ(2t′,η−%−σ,η′−%′−σ′) = ∑ ε,ε′ (−1)ε′η+εη′ϑ(2u,ε,ε′)ϑ(2v,ε+%,ε′+%′) ×ϑ(2w,ε+σ,ε′+σ′),ϑ(2t,ε−%−σ,ε′−%′−σ′), (25) wobei zwischen den Argumenten die Relationen stattfinden: u+v+w+ t= 2u′ u+v−w− t= 2v′ u−v+w− t= 2w′ u−v−w+ t= 2t′ · ·· u′+v′+w′+ t′= 2u u′+v′+w′− t′= 2v u′−v′+w′− t′= 2w u′−v′−w′+ t′= 2t. (24) Die Formel (25) entha¨lt 20 von einander wesentlich verschiedene ϑ- Relationen. Man kann linker Hand drei der ϑ beliebig annehmen, dann ist die vierte bestimmt, da ηη′, %%′, σσ′ durch diese Annahme bestimmt sind. Wa¨hlt man alle drei ϑmit denselben Charakteristiken , so hat die vierte ϑ auch dieselbe Charakteristik. Denn ist η= η+ %+ 2ν= η+ σ+ 2µ η′=η′+%′+2ν′=η′+σ′+2µ′