Seite - 120 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

120 VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen. Diese Gleichungen (26) sind dieselben, wie die Gleichungen (24), wenn man u, v,w, t durchΠ3,Π2,Π1,Π0 ersetzt, und aus ihnen folgt auch in genau derselben Weise die Auflo¨sung nach denΠx, na¨mlich 2Π3 =Π ′ 3 +Π ′ 2 +Π ′ 1 +Π ′ 0 2Π2 =Π ′ 3 +Π ′ 2−Π′1−Π′0 2Π1 =Π ′ 3−Π′2 +Π′1−Π′0 2Π0 =Π ′ 3−Π′2−Π′1 +Π′0. (26) Jede Relation, die sich zwischen den Gro¨ssen u, v,w, t; u′, v′,w′, t′ als Folge der Gleichungen (24) ergiebt, besteht auch notwendig zwischen den ϑ-Produkten, und umgekehrt. Setzt man P3 =ϑ3(2u)ϑ2(2v)ϑ0(2w)ϑ1(2t) P2 =ϑ2(2u)ϑ3(2v)ϑ1(2w)ϑ0(2t) P1 =ϑ1(2u)ϑ0(2v)ϑ2(2w)ϑ3(2t) P0 =ϑ0(2u)ϑ1(2v)ϑ3(2w)ϑ2(2t), (27a) so ergiebt die Gleichung (25) 2ϑ1(2u ′)ϑ0(2v′)ϑ2(2w′)ϑ3(2t′) =P1 +P2 +P3 +P0 2ϑ2(2u ′)ϑ3(2v′)ϑ1(2w′)ϑ0(2t′) =P1 +P2−P3−P0 2ϑ3(2u ′)ϑ2(2v′)ϑ0(2w′)ϑ1(2t′) =P1−P2 +P3−P0 2ϑ0(2u ′)ϑ1(2v′)ϑ3(2w′)ϑ2(2t′) =P1−P2−P3 +P0 fu¨r η= 1,η′=−1;%= 0,%′=−1;σ= 1,σ′= 0; ” η= 0,η′=−1;%= 0,%′=−1;σ= 1,σ′= 0; ” η= 0,η′= 0; %= 0,%′=−1;σ= 1,σ′= 0; ” η= 1,η′= 0; %= 0,%′=−1;σ= 1,σ′= 0. (27) Durch Auflo¨sung dieser erha¨lt man, wennP′κ ausPκ hervorgeht, durch Vertauschung deru, v,w, tmitu′, v′,w′, t′: 2P1 =P ′ 1 +P ′ 2 +P ′ 3 +P ′ 0 2P2 =P ′ 1 +P ′ 2−P′3−P′0 2P3 =P ′ 1−P′2 +P′3−P′0 2P0 =P ′ 1−P′2−P′3 +P′0. (27) Diese Gleichungen gehen u¨ber in die Gleichung (24), wenn man P1,P2,P3,P0;P ′ 1,P ′ 2,P ′ 3,P ′ 0