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122 VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen. u2 +v2 +w2 + t2 =u′2 +v′2 +w′2 + t′2 2(uv+wt) =u′2 +v′2−w′2− t′2 2(uw+vt) =u′2−v′2 +w′2− t′2 2(ut+vw) =u′2−v′2−w′2 + t′2. Aus diesen ergeben sich die reciproken durch Vertauschung von u, v,w, tmitu′, v′,w′, t′. 31. Aus den eben abgeleiteten Formeln fu¨r die ϑ-Funktionen ergehen sich die Additionsformeln fu¨r die elliptischen Funktionen su, cu,∆u. Setzt man beispielsweise in den Formeln (27) u=v,w= t, wodurch u′=u+w,v′=u−w,w′= 0,t′= 0 wird, so giebt die erste Gleichung, wenn 12u, 1 2w an Stelle von u und w geschrieben wird, ϑ2ϑ3ϑ1(u+w)ϑ0(u−w) =ϑ1uϑ0uϑ2wϑ3w+ϑ2uϑ3uϑ1wϑ0w. (31) Macht man dieselbe Substitution in den Gleichungen (26), so folgt, da Π′1 = 0 wird, also Π0−Π1 =Π3−Π2 ist, Π′0 =Π3−Π2 =Π0−Π1, oder: ϑ20ϑ0(u+w)ϑ0(u−w) =ϑ20uϑ20w−ϑ21uϑ21w. (32) Dividirt man beide Gleichungen durch einander, so folgt: ϑ2ϑ3 ϑ20 ϑ1(u+w) ϑ0(u+w) = ϑ1uϑ0uϑ2wϑ3w+ϑ2uϑ3uϑ1wϑ0w ϑ20uϑ 2 0w−ϑ21uϑ21w ϑ3 ϑ2 ϑ1(u+w) ϑ0(u+w) = ϑ3 ϑ2 ϑ1u ϑ0u ϑ0 ϑ2 ϑ2w ϑ0w ϑ0 ϑ3 ϑ0w ϑ0w + ϑ0ϑ2 ϑ2u ϑ0u ϑ0 ϑ3 ϑ3u ϑ0u ϑ3 ϑ2 ϑ1w ϑ0w 1− ϑ 4 2 ϑ43 ϑ23 ϑ22 ϑ21u ϑ20u ϑ23 ϑ22 ϑ21w ϑ20w ,