Seite - 126 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

126 VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen. Die Reihe rechter Hand konvergirt fu¨r alle Werte von u unbedingt und gleichma¨ssig, kann also differentiirt werden, und die Summe der Differential- quotienten der Glieder ist der Differentialquotient der Reihe, also ist dϑ(u,ε,ε′) du = ( 2pii ω )+∞∑ −∞ ( m+ ε2 ) e [ (m+ε2) 2 ω′+2(m+ε2)(u+ ε 2ω) ] pii ω und d2ϑ(u,ε,ε′) du2 = ( 2pii ω )2+∞∑ −∞ ( m+ ε2 )2 e [ (m+ε2) 2 ω′+2(m+ε2) ( u+ε ′ 2ω )] pii ω , da die Reihe rechts wieder gleichma¨ssig konvergirt. Wir sahen nun, dassω′ nur der Bedingung unterworfen war, damit die Reihe konvergire, dass ω ′ ω einen positiven Koeffizienten von i habe. A¨ndert sich also ω′ derartig, dass diese Bedingung erfu¨llt bleibt, so wird die neueϑ-Reihe wieder gleichma¨ssig konvergiren. Es ist daherϑ(u,ε,ε′) auch eine stetige Funktion vonω′, wenn ω′ innerhalb eines gewissen Gebietes bleibt, z. B. wenn ω reell und positiv ist, wennω′=α+ iβ oberhalb der Axe der reellen Zahlen liegt, d. h. wenn β positiv ist. Differentiirt man nun die ∑ e [ (m+ε2) 2 ω′+2(m+ε2) ( u+ε ′ 2ω )] pii ω , nachω′, wodurch man pii ω ∑( m+ ε2 )2 e [ (m+ε2) 2 ω′+2(m+ε2)(u+ ε 2ω) ] pii ω erha¨lt, so konvergirt diese Reihe fu¨r dieselbenω′, wie die erste, und fu¨r alle endlichenu und daher ist: dϑ(u,ε,ε′) dω′ = pii ω +∞∑ −∞ ( m+ ε2 )2 e [ (m+ε2) 2 ω′+2(m+ε2) ( u+ε ′ 2ω )] pii ω . Vergleicht man die Reihen rechter Hand in dieser und der fru¨heren Glei- chung, so ergiebt sich d2ϑ(u,ε,ε′) du2 = 4pii ω dϑ(u,ε,ε′) dω′ , (34)