Seite - 144 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

144 I. Die Riemann’sche Fla¨che der Funktion y. 36. Wir setzen y2 =A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4), (3) wo a1, a2, a3, a4 irgend welche reelle oder komplexe Gro¨ssen sein mo¨gen, die durch die Punkte a1, a2, a3, a4 in der x-Ebene, wo wir die komplexe Vera¨nderliche x deuten, dargestellt seien. Indem, wir dann das ∫x x0 dx y be- trachten wollen, mu¨ssen wir uns u¨ber die Funktion y vorerst orientiren. Wie wir ersehen ist y keine eindeutige Funktion von x, denn jedem x entsprechen die beiden Werte y= + √ A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4) y=− √ A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4), } (4) welche beide der Gleichung (3) genu¨gen. Diese Werte sind im Allgemeinen von einander verschieden und ko¨nnen nur gleich werden, wenn y= 0, d. h.x einer der Werte a1, a2, a3, a4 ist. Es sind die beiden Werte fu¨r allex von einander verschieden, die ausser- halb eines KreisesK liegen, der um den Anfangspunktx= 0 geschlagen ist, und der die Punkte a1, a2, a3, a4 einschliesst. Setzt man um diess deutlicher zu ersehenx′= 1x, so wirdx′ kleine Werte annehmen, wennx ausserhalbK liegt. Da nun (x′2y)2 =A(1−a1x′)(1−a2x′)(1−a3x′)(1−a4x′) ist, so wird (x′2y)x′=0 entweder + √ A oder − √ A sein. Da ferner fu¨r kleine |x′|√ A(1−a1x′)(1−a2x′)(1−a3x′)(1−a4x′) = √ A+Bx′+Cx′2 + · ·· eine konvergente Potenzreihe ist, so wird (x′2y) fu¨r kleinex′ die Entwicklun- gen x′2y= + √ A+Bx′+Cx′2 + · ·· x′2y=− √ A−Bx′−Cx′2−···