Seite - 146 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

146 I. Die Riemann’sche Fla¨che der Funktion y. Um a1 schlagen wir (Fig. 28) einen Kreis K, so beschaffen, dass er die Punkte a2, a3, a4 ausschliesst. Sein Radius seiR. Wir setzen x−a1 =%eiϕ, dann werden alle x, fu¨r die %<R ist, innerhalbK liegen, d. h. xwird von a2, a3, a4 stets verschieden bleiben. Es wird innerhalbK√ A(x−a2)(x−a3)(x−a4) = √ A(a1−a2 +%eiϕ)(a1−a3 +%eiϕ)(a1−a4 +%eiϕ) =F(%,ϕ) eine eindeutige Funktion von %,ϕ sein, die immer denselben Wert annimmt, sobald % seinen urspru¨nglichen Wert erha¨lt undϕ entweder wieder den ur- spru¨nglichen Wert erha¨lt oder gleichϕ+2npiwird, won eine beliebige ganze Zahl ist, d. h. es istF(%,ϕ+2npi) =F(%,ϕ). Da dannx auch immer densel- ben Wert erha¨lt, so ist auchF(%,ϕ) =F1(x) eine eindeutige Funktion vonx. Sollte na¨mlichF1 fu¨r irgend ein Wertepaar%,ϕund%,ϕ+2npi verschiedene Werte haben, so ko¨nnten sich dieselben nur im Vorzeichen unterscheiden, da F21 eine rationale Funktion von x ist, daher mu¨sste, wenn wir das ϕ stetig vonϕ bisϕ+2npi a¨ndern, notwendig fu¨r irgend ein % die FunktionF(%,ϕ) verschwinden(dasienichtunendlichwerdenkann)umihrZeichenzu a¨ndern. Fig. 29. Da dieses der Voraussetzung nach u¨ber die zula¨ssigen Werte % unmo¨glich ist, so kann F(%,ϕ)auchnureinenWert fu¨r jedes%und ϕ+2npi besitzen. Es wird nun y= ei ϕ 2% 1 2F(%,ϕ) sichergebenundwirwollen festsetzen,dass fu¨r x=x1 . . .%=%1, ϕ=ϕ1 wird, und y=y1 = e i ϕ1 2 % 1 2 1F(%1,ϕ1). Nun lassen wirϕ vonϕ=ϕ1 ab sich a¨ndern, indem wir x von x= x1 la¨ngs der ganz innerhalb K verlaufenden Kurve C (Fig. 29) sich bewegen lassen. Kehrt x nach x1 zuru¨ck, so wird nach diesem einzigen Umlauf des Punktes %=%1, aberϕ=ϕ1 +2pi, also x−a1 =%1ei(ϕ1+2pi) =%1eiϕ1 =x1−a1