Seite - 147 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

147 x=x1, wie es sein muss, hingegen wird y= ei ϕ1+2pi 2 % 1 2 1F(%1,ϕ1 +2pi) oder y=−ei ϕ1 2 % 1 2 1F(%1,ϕ1), da epii=−1 ist, d. h. es wird y=−y1. Umkreist daher die Variable x den Punkt a1 einmal, so erha¨lt y den entgegengesetzten Wert. Erst wennxnoch eine zweite Umkreisung vollfu¨hrt, wird y=−(−y1) =y1 den urspru¨nglichen Wert wieder annehmen. In der Umgebung der Punkte a1, a2, a3, a4 ist also y keine eindeutige Funktion vonx. Fu¨r alle andern Werte vonx, fu¨r welche y nicht verschwin- det, ist die Fortsetzung vony aus dem einmal angenommenen Werte +y oder −y eine vollsta¨ndig bestimmte und eindeutige. 37. Es fragt sich nun ob man man diese Zweideutigkeit, welche bei unserer Funktion y auftritt, nicht durch eine passende Darstellung der Werte von x beheben ko¨nnte, indem aus dieser Darstellung ersichtlich wa¨re, dass x nur dann seinen urspru¨nglichen Ort erha¨lt, wenn y seinen urspru¨nglichen Wert annimmt. Dieses ist in der That nach dem Vorgange von Riemann sehr leicht mo¨g- lich∗) . Da fu¨r jeden Wert vonx zwei Werte von y angenommen werden ko¨nnen, so denken wir uns fu¨r x nicht eine, sondern zwei Ebenen oder Bla¨tter dicht untereinander gelegt, in denen wir die komplexe Variable x deuten. Jedem Wertex entsprechen also zwei Punkte: einer in der oberen Ebenex′, einer in der unterenx′′. Es sei nunx0 ein vona1,a2,a3,a4 verschiedener Wert, dem diebeidenWerte+y0,−y0 entsprechen.Wir setzen fest, dassdemPunktex′0 in der oberen Ebene der Wert +y0 und dem Punktex ′′ 0 in der unteren Ebene der Wert−y0 entsprechen soll. x′0 und x′′0 stellen den komplexen Wert x0 dar. Bleibt nunx′ in der UmgebungA′ vonx′0, und daher der entsprechende Punkt x′′ des unteren Blattes in der Umgebung von x′′0, so wird die stetige Fortsetzung von y in eindeutiger Weise vor sich gehen und den Punkten der oberen Ebene wird immer +y, den darunter liegenden der zweiten Ebene−y entsprechen.Wirdx′denPunktx′1,welcher inderUmgebungA′vonx′0 liegt, ∗) Grundlagen fu¨r eine allgemeine Theorie der Funktionen einer komplexen vera¨nder- lichen Gro¨sse. Inauguraldissertation von B. Riemann. Sowie auch: Crelle’sches Journal Band 54, S. 101.