Seite - 157 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

157 Wenn wir also unserer Variabeln x erlauben, vonm′ nachm′′ u¨berA hinu¨ber zu gehen, d. h. wenn wirx inT variiren, so wird bei diesem Ueber- schreiten sichw(x) plo¨tzlich umC a¨ndern. Es ist klar, dass bei dem Ueberschreiten der LinieA in entgegengesetzter Richtung vonm′′nachm′ sichw(x) plo¨tzlich um−C a¨ndert. Aehnliches gilt fu¨r das Ueberschreiten der LinieB von p′ nach p′′. Setzt man w(n1m′n) = ∫ A dx y =C1, so wird w(p′′) =w(p′)+C1. Aendert sich also x in T, so wird bei dem Uebertritt des x von p′ nach p′′ sich das Integral plo¨tzlich umC1 a¨ndern. Da sonst die Aenderung vonw(x) in T und T′ dieselbe ist, so erhalten wir das Resultat: Istw(x) der Wert des Integrals von x0 nach x innerhalb T ′ auf irgend einem WegeJ erstreckt undw1(x) der erlangte Wert auf irgend einem Wege J1 innerhalb T, so wird w(x) =w1(x)+nC+n1C1, won undn1 ganze Zahlen sind. Es mo¨ge J1 die LinienA undB resp.m+m1 undm ′+m′1mal schnei- den und zwar, wenn wir J1 von x0 nach x durchlaufen,m resp.m ′mal in positiver,m1 resp.m ′ 1mal in negativer Richtung, wobei wir unter positiver Ueberschreitungsrichtung die im Sinne der Pfeile der Fig. 40 verstehen. Wollen wir den WegJ1 nun so inJ2 aba¨ndern, dass er auch inT ′ intakt bleibt, also beim Zerschneiden von T nicht in getrennte Theile zerfa¨llt, so Fig. 41. mu¨ssen wir bei jedem Ueberschreitungspunkte von s nach t (Fig. 41) den Weg ss1s2s3s4t hinzufu¨gen, wobei alsow(x) umC oderC1 wa¨chst, wenn die Ue- berschreitung vonA resp.B in positiver Richtung stattfandoderum−C,−C1,wenndieseUeberschrei- tungen in negativer Richtung erfolgten. Hierdurch wird aberw1(x) den Wert w1(x)+(m−m′)C+(m1−m′1)C1 erhalten auf J2 und da J2 auch in T ′ zusam- menha¨ngend bleibt, so muss dies derselbe Wert sein, denw(x) auf J erha¨lt, daw(x) inT′ eindeutig ist, also ist w(x) =w1(x)+nC+n1C1.