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III. Das elliptische Normalintegral. 45. Wir kehren zu unserer speziellen Funktion z zuru¨ck, fu¨r welche dz du =G √ (1−z2)(1−κ2z2) (1) ist und setzen vor der HandG= 1. Die Riemann’sche Fla¨che der Funktion y= √ (1−z2)(1−κ2z2) (2) hat in z=±1, z=±1κ ihre Verzweigungspunkte. Wir wollen die Verzwei- gungsschnitte (Fig. 49) von +1 nach +1κ und von−1 nach−1κ fu¨hren, und setzen fest, dass im oberen Blatte fu¨r x= 0, y= +1 ist, also im darunter liegenden Punktex= 0, y=−1 ist. Fig. 49. Wir haben dann C= ∫ B dz y = 2 ∣∣∣+1∫ −1 dz y C1 = ∫ A dz y = 2 ∫ 1 κ 1 dz y . Wir setzen∗) K= ∣∣∣1∫ 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) K1 = ∣∣∣ 1 κ∫ 1 dz√ (1−z2)(1−κ2z2),                    (3) dann wird, da ∣∣∣+1∫ −1 dz y = ∣∣∣0∫ −1 dz y + ∫ 1 0 dz y = 2 ∣∣∣1∫ 0 dz y ist, dennder Integrationswegverla¨uft ganz imoberenBlatteundgehtdurch z= 0, y= +1, C= 4K, C1 = 2K1 ∗)K1 soll auf der linken Seite von 1 bis 1κ im oberenBlatte hinerstreckt sein und wird jedenfalls imagina¨r sein.