Seite - 175 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

175 einfach in ein geradliniges verwandelt werden. Denn seien u1,u2,u3,u4 die Ecken des Parallelogrammes (Fig. 52 b), dessen SeitenA′1,A′2,B′1,B′2 den beiden UfernA1,A2,B1,B2, der SchnitteA undB entsprechen; so verbin- denwiru1u2 durchdieGeradeA ′ 1.EinemPunkteudieserGeradenwird,wie wir wissen, ein bestimmter Punkt x= f(u), y= F(u) der Riemann’schen Fla¨che entsprechen. Lassen wir also u von u1 aus die Gerade u1u2 durch- laufen, so wird (xy) vonm aus irgend eine KurveA auf der Riemann’schen Fla¨che beschreiben, die vonm ausgeht und wenn u nach u2 gelangt, wieder inm endigt.Dadas Integral vonu1 bisu2 umu2−u1 =C1 gewachsen ist, so muss die LinieAgerade so wieAvon einem Ufer vonB zum anderen fu¨hren, kann also bei der Zerschneidung der Riemann’schen Fla¨che an Stelle vonA gesetzt werden. Thut man letzteres, so wird die la¨ngsAundB zerschnittene Riemann’sche Fla¨che sich auf dieu-Ebene so abbilden, dass die beiden Ufer von A die Geraden u1u2 und u4u3 zu Bildern haben werden. Ersetzt man ebensoB durch eine LinieB, welche das Bild der Geraden u2u3 ist, so er- siehtman,dassdie la¨ngsAundBzerschnitteneRiemann’scheFla¨che sichauf die u-Ebene in ein geradliniges Parallelogramm abbildet, dessen Seiten die La¨ngenC1 undChaben,alsodieRepra¨sentantenderPeriodendes Integrales u sind. Wir sind also stets im Stande, die Riemann’sche Fla¨che derart zu zer- schneiden, dass das Periodenparallelogramm ein geradliniges wird. 48. Wir wollen die Abbildung der Riemann’schen Fla¨che mittels des Inte- gralsu auf die Zahlenebene vonu in zwei Fa¨llen besonders betrachten. 1. Es seiκ reell und kleiner als 1. (Wir werden sehen, dass man stets den Modul vonκ kleiner als 1 machen kann.) Es wird u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) so lange z2 < 1 ist und z reelle Werte annimmt, auch reell sein. Sobald z reell und 1κ2>z 2> 1 ist, wird der reelle Theil von u konstant bleiben und es wird sich blos der rein imagina¨re Theil a¨ndern, denn es wird u= ∫ 1 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) + i ∫ z 1 dz√ (z2−1)(1−κ2z2) u=K+ i ∫ z 1 dz√ (z2−1)(1−κ2z2), alsodasvonzabha¨ngendeIntegral reellunterobigerVoraussetzung.K selbst