Seite - 176 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

176 III. Das elliptische Normalintegral ist nach Fru¨herem reell, und K1 = ∣∣∣ 1 κ∫ 1 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) = i ∣∣∣ 1 κ∫ 1 dz√ (z2−1)(1−κ2z2) rein imagina¨r. Die Verzweigungspunkte der Riemann’schen Fla¨che sind in diesem Falle alle auf der Achse der reellen Zahlen gelegen. Wir fu¨hren nun (Fig. 53) die Fig. 53. Schnitte B und A so, dass sie durch die Achse der reellen Zahlen gehen. In der Figur sind sie knapp an dieselbe ge- zeichnet. Inm hat u den reellen Wert K und auf der u-Ebene entspricht al- so der Punkt a = K dem Punktem. Durchla¨uftznunvonmausdieLinieB, so wirdu sich vona reell a¨ndern bis es, sobaldderPunktwieder inmangelangt ist, um4K gewachsen in b eintrifft, also ist b−a= 4K und b das Bild vonm als aufdemanderenUfervonAgelegen betrachtet. Wenn z vonm aus das eine Ufer vonAdurchla¨uft, so wird sich nur der imagina¨re Theil vonu a¨ndern, d. h. das Bild dieses Ufers wird eine durch a oder b (je nachdem auf welchem Ufer vonBwir uns befinden) gehende zur Achse der rein imagina¨ren Zahlen par- allele Gerade ad oder bc sein, deren La¨nge 2K1 ist. Die Gerade, welche die Punkte d und c verbindet, ist das Bild des zweiten Ufers vonB. Wir ersehen also, dass unsere Riemann’sche Fla¨che, sobaldκ reell und < 1 ist, derart zerschnitten, dass die reelle Achse die Schnittlinien bildet, sich mittels des Integrals u auf ein Rechteck abbildet. Das Periodenparalle- logramm der Funktion z= f(u) ist also ein Rechteck. Dass, wenn das Peri- odenparallelogramm ein Rechteck ist, unsere Funktion su so beschaffen ist, dassκ reell wird, haben wir fru¨her gesehen (S. 130 u. ff.). 2. Es seiκ= iκ1 undκ1 reell. Dann wird u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) = ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1+κ21z2) reell sein, sobald z reelle Werte, die absolut kleiner als 1 sind, durchla¨uft.