Seite - 190 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

190 IV. Integrale II. und III. Gattung Dieses Integral J verdient den Namen Normalintegral insofern, als sich jedes Integral von der Form Jm= ∫ x 0 xmdx√ (1−x2)(1−κ2x2) auf dasselbe und eine rationale Funktion vonxund y= √ (1−x2)(1−κ2x2) zuru¨ckfu¨hren la¨sst, wozu noch das Normalintegral I. Gattung treten kann. Vor allem ist klar, dass fu¨r ein ungeradesm= 2n+1 das Integral Jm kein elliptisches ist. Denn setzt man x2 = z, so wird xdx= 12dz J2n+1 = ∫ x 0 x2n+1dx√ (1−x2)(1−κ2x2) = 1 2 ∫ z 0 zndz√ (1−z)(1−κ2z) in welchem der Ausdruck unter der Wurzel blos zum zweiten Grade steigt und durch die Substitution z= 1− t2 κ2− t2 in das Integral J2n+1 =− ∫ t 1 2(1− t2)n (κ2− t2)n+1 dt verwandelt wird, das als Integrand eine rationale Funktion entha¨lt. Wir haben also blos Integrale von der Form Jn= ∫ z 0 z2ndz√ (1−z2)(1−κ2z2) zu betrachten. Setzt man y= √ (1−z2)(1−κ2z2), so ist d dz (z2n−3y) = (2n−1)κ2z 2n y −(1+κ2)(2n−2)z 2n−2 y +(2n−3)z 2n−4 y .