Seite - 191 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

191 Multiplizirt man diese Gleichung mitdz und integrirt in Bezug auf z von 0 bis z, so ergiebt sich z2n−3y= (2n−1)κ2Jn−2(n−1)(1+κ2)Jn−1 +(2n−3)Jn−2 und hieraus Jn= 1 (2n−1)κ2z 2n−3y+ 2(n−1)(1+κ 2) 2n−1)κ2 Jn−1− (2n−3) (2n−1)κ2Jn−2. (22) Diese Gleichung zeigt, dass manJn ausJn−1 undJn−2 berechnen kann. DanunJ1 dasNormalintegral II.GattungundJ0 dasNormalintegral I.Gat- tung ist, so kann man J2 aus diesen beiden, J3 aus J2 und J1 u. s. w. be- rechnen und man erha¨ltJn ausgedru¨ckt durch eine rationale Funktion von z und y und durch J undu: J= ∫ z 0 z2dz√ (1−z2)(1−κ2z2), u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2). 54. Elliptische Integrale III. Gattung nennt man solche Integrale aus einer rationalen Funktion von y und z, welche logarithmisch unendlich werden, d. h. welche fu¨r z = a so unendlich werden, wie log(z− a). Ein solches Integral ist Π= ∫ z 0 dz (z−a)y y= √ (1−z2)(1−κ2z2), wennavon den Werten1,−1, 1κ,−1κ verschieden ist. Denn entwickeln wir 1y inderUmgebungvonz=a, so istdieses, sobalddasBlattderRiemann’schen Fla¨che festgesetzt ist,nur ineinerWeisemo¨glich. Isty= b fu¨rz=a imersten Blatte, also y=−b fu¨r z=a im zweiten Blatte, so ist: 1 y = 1 b +A1(z−a)+A2(z−a)2 + . . . dz (z−a)y= 1 b 1 z−a+A1 +A2(z−a)+ . . . Π=C+ 1 b log(z−a)+A1(z−a)+ 1 2 A2(z−a)2 + . . . , woC eine Konstante bedeutet, die dadurch bestimmt ist, dassΠ=Π1 fu¨r z= z1 ist, wenn z1 ein Punkt der Umgebung von a ist und Π1 = ∫ z1 0 dz (z−a)y.