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192 IV. Integrale II. und III. Gattung Aus der Entwicklung sehen wir aber, dass Π so unendlich wird wie 1 b log(z−a) fu¨r z = a, y = b. Fu¨r den Punkt der Riemann’schen Fla¨che z=a, y=−bwirdΠ unendlich, wie 1b log(z−a). Ein Integral III. Gattung, welches in weniger als zwei Punkten der Rie- mann’schen Fla¨che der Funktion y= √ (1−z2)(1−κ2z2) logarithmisch unendlich wird, existirt nicht. Denn setzen wir voraus, dass das IntegralΠ nur fu¨r z=a1,a2 . . .an y= b1,b2 . . .bn auf der Riemann’schen Fla¨che unendlich wird fu¨r (z=ak, y= bk), wie A (n) k (z−ak)n + A (n−1) k (z−ak)n−1 + · ··+ A (2) k (z−ak)2 + A (1) k (z−ak) +Mk log(z−ak), so wird die rationale Funktion von z und ydΠdz fu¨r z=ak, y= bk unendlich wie −n A (n) k (z−ak)n−1 −(n−1) A (n−1) k (z−ak)n−2 −···−2 A (2) k (z−ak)3 − A (1) k (z−ak)2 + Mk z−ak und kann sonst nur noch fu¨r z=±1,±1κ unendlich werden. Dann gilt die Relation M1 +M2 +M3 + · ··+Mn= 0. DennumgebenwirdiePunkte (ak,bk),welche ineinembestimmtenBlat- te der Riemann’schen Fla¨che liegen, mit kleinen Kreisen, welche nur je einen Punkt umgeben, und thun wir dasselbe mit den Punkten 1,−1, 1κ,−1κ, so wird dΠdz in dem ausgeschlossenen Gebiete der Riemann’schen Fla¨che sonst nicht unendlich, daΠ stets endlich bleibt. Nehmen wir also das ∫ dΠ la¨ngs allen diesen Kreisen, so muss ∫ dΠ= 0