Seite - 194 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

194 IV. Integrale II. und III. Gattung d. h. M1 +M2 + · ··+Mn= 0. Wu¨rde also ein IntegralΠ blos in (a1,b1) wieM1 log(z−a1) unendlich, so mu¨ssteM1 = 0 sein, d. h. das GliedM1 log(z−a1) wu¨rde in der Ent- wicklung vonΠ fehlen, also wu¨rdeΠ nicht ein Integral III. Gattung sein. Hieraus folgt beila¨ufig: das Integral einer rationalen Funktion von z und y, welche in Punkten der Riemann’schen Fla¨che nur so unendlich wird, dass der Koeffizient der−1ten Potenz u¨berall null ist, la¨sst sich immer durch eine rationale Funktion von x, y, Integrale II. und I. Gattung ausdru¨cken. Wir werden bald die Richtigkeit dieses Satzes noch auf andere Art einsehen. Das anfa¨nglich angeschriebene Integral Π= ∫ z 0 dz (z−a) √ (1−z2)(1−κ2z2) wird fu¨r z=a, y= b unendlich wie 1b log(z−a) ,, ,, z=a, y= −b ,, ,, −1b log(z−a) und es ist in der That M1 +M2 = 1 b − 1 b = 0. Als Normalintegral III. Gattung wurde von Legendre eingefu¨hrt das In- tegral Πa= ∫ z 0 dz( z2−a2)√(1−z2)(1−κ2z2), (23) welches fu¨r z= +a,y= +b z=−a,y= +b z= +a,y=−b z=−a,y=−b unendlich wird wie±1b log(z−a) resp.±1b log(z+a), also in vier Punkten der Riemann’schen Fla¨che. Man nennt a den Parameter des Integrals.