Seite - 196 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

196 IV. Integrale II. und III. Gattung so wird f1 ( z, √ P(z) ) = [ r1(z)+r2(z) √ P(z) ][ r3(z)−r4(z) √ P(z) ] r23(z)−r24(z)P(z) = R1(z)+R2(z) √ P(z) R3(z) . Also ist U= ∫ R1(z) R3(z) dz+ ∫ R2(z)P(z) R3(z) √ P(z) dz. Daserste Integral istvoneiner rationalenFunktionvonz zunehmen,also durch logarithmische und rationale Ausdru¨cke von z darstellbar. Wir wollen es mitV(z) bezeichnen, so dass U=V(z)+ ∫ R2(z)P(z) R3(z) √ P(z) dz. ist. Da aus x= α+βz γ+δz , z= α−γx −β+δx folgt, so ist V(z) = ∫ R1(z) R2(z) dz= ∫ R(x)dx=V1(x) auch das Integral einer rationalen Funktion vonx allein. Das Integral W= ∫ R2(z)P(z) R3(z) dz η behandeln wir weiter. Es ist R2(z)P(z) R3(z) = R2(z)P(z)R3(−z) R3(z)R3(−z) und daR3(z)R3(−z) eine gerade Funktion von z ist, so entha¨lt sie blos z2, also kann man R3(z)R3(−z) =Ψ(z2) setzen und R2(z)P(z)R3(−z) =Φ1(z2)+zΦ2(z2), so dass W= ∫ Φ1(z 2)+zΦ2(z 2) Ψ(z2) dz η = ∫ zΦ2(z 2) Ψ(z2) dz η + ∫ Φ1(z 2) Ψ(z2) dz η