Seite - 197 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

197 wird. Im ersten Integrale fu¨hren wir ζ= z2 ein, wodurch es in∫ Φ2(z 2)dz Ψ(z2) √ (1−z2)(1−κ2z2) = 1 2 ∫ Φ2(ζ)dζ Ψ(ζ) √ (1−ζ)(1−κ2ζ) u¨bergeht, welches Integral sich durch die auf S. 190 angegebene Substitution z= 1−t2κ2−t2 als Integral aus einer rationalen Funktion von t darstellen la¨sst, und mit V ′(ζ, √ (1−ζ)(1−κ2ζ) = ∫ Φ2(ζ)dζ Ψ(ζ) √ (1−ζ)(1−κ2ζ) bezeichnet sei. Durch die Substitution ζ= z2 wird V ′(ζ, √ (1−ζ)(1−κ2ζ) =V ′(z2,η), so dass U=V(z)+V ′(z2,η)+ ∫ Φ1(z 2) Ψ(z2) dz η sich ergiebt. Das letzte Integral fu¨hrt nun auf elliptische Integrale. Wir wissen, dass die rationale Funktion Φ1(ζ) Ψ(ζ) =a0 +a1ζ+ · ··aνζν+ p(ζ) q(ζ) gesetzt werden kann, wo p(ζ) und q(ζ) rationale Funktionen von ζ sind und erstere wenigstens um eine Einheit niedriger in ζ als letztere ist. Nun la¨sst sich J2 = ∫ z2λdz η durch eine rationale Funktion von z und η und durch J und u ausdru¨cken, d. h. es ist Jλ= rλ(z,η)+AλJ+Bλu, daher ist∫ Φ1(z 2) Ψ(z2) dz η =a0 ∫ dz η +a1 ∫ z2dz η + · ··+aν ∫ z2νdz η + ∫ p(z2) q(z2) dz η =%(z,η)+AJ+Bu+ ∫ p(z2) q(z2) dz η ,