Seite - 202 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

202 V. Berechnung des Normalintegrals und daher u= 2K pi arcsinz− √ 1−z2 ∞∑ n=1 C2nκ2nGn(z) (30) 2K pi = 1+ ( 1 2 )2 κ2 + · ·· ( 1 ·3 ·5· ··2n−1 2 ·4 ·6 · ··2n )2 κ2n. Aus dieser Gleichung ersieht man nun auch die Vieldeutigkeit von u. Dieselbe ha¨ngt na¨mlich von der von arcsinz und √ 1−z2 ab. Beha¨lt die letztere ihr Vorzeichen, so ist arcsinz unbestimmt um 2pi, indem κ= arcsinz+2npi stets z= sinκ liefert und also istuunbestimmt um 4K. Da auch ∫ z 0 dz√ 1−z2 = 1 i log ( z− i √ 1−z2)+pi 2 ist, so kann man u−K= 2K pii log ( z− i √ 1−z2)−√1−z2 ∞∑ n=1 C2nκ2nGn(z) ((30a)) setzen, woraus die Vieldeutigkeit wieder ersichtlich, da der Logarithmus um 2pii unbestimmt ist. Aus dieser Form ersieht man aber auch einfach das Verhaltenvonu,wennanStelle von+ √ 1−z2 gesetztwird− √ 1−z2.Denn da log ( z− i √ 1−z2)+log(z+ i√1−z2) = log ( z− i √ 1−z2)(z+ i√1−z2)= 0 ist, so folgt, dass fu¨r diese Zeichena¨nderung u′−K= 2k pii log(z+ i √ 1−z2)+ √ 1−z2 ∞∑ 1 C2nκ2nGn(z) =− [ 2K pii log(z− i √ 1−z2)− √ 1−z2 ∞∑ 1 C2nκ2nGn(z) ] wird, oder u′−K=−(u−K),