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202 V. Berechnung des Normalintegrals
und daher
u= 2K
pi arcsinz− √
1−z2 ∞∑
n=1 C2nκ2nGn(z) (30)
2K
pi = 1+ (
1
2 )2
κ2 + · ·· (
1 ·3 ·5· ··2n−1
2 ·4 ·6 · ··2n )2
κ2n.
Aus dieser Gleichung ersieht man nun auch die Vieldeutigkeit von u.
Dieselbe ha¨ngt na¨mlich von der von arcsinz und √
1−z2 ab. Beha¨lt die
letztere ihr Vorzeichen, so ist arcsinz unbestimmt um 2pi, indem
κ= arcsinz+2npi
stets z= sinκ liefert und also istuunbestimmt um 4K.
Da auch ∫ z
0 dz√
1−z2 = 1
i log ( z− i √
1−z2)+pi
2
ist, so kann man
u−K= 2K
pii log (
z− i
√
1−z2)−√1−z2 ∞∑
n=1 C2nκ2nGn(z) ((30a))
setzen, woraus die Vieldeutigkeit wieder ersichtlich, da der Logarithmus um
2pii unbestimmt ist. Aus dieser Form ersieht man aber auch einfach das
Verhaltenvonu,wennanStelle von+
√
1−z2 gesetztwird− √
1−z2.Denn
da
log (
z− i
√ 1−z2)+log(z+ i√1−z2)
= log (
z− i
√
1−z2)(z+ i√1−z2)= 0
ist, so folgt, dass fu¨r diese Zeichena¨nderung
u′−K= 2k
pii log(z+ i √
1−z2)+ √
1−z2 ∞∑
1 C2nκ2nGn(z)
=− [
2K
pii log(z− i √
1−z2)− √
1−z2 ∞∑
1 C2nκ2nGn(z)
]
wird, oder
u′−K=−(u−K),
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Titel
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Autor
- Karl Bobek
- Verlag
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Ort
- Leipzig
- Datum
- 1984
- Sprache
- deutsch
- Lizenz
- PD
- Abmessungen
- 21.0 x 29.7 cm
- Seiten
- 290
- Schlagwörter
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Kategorie
- Lehrbücher