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213 Wenn wir aber auf diese Art q direkt ausκ erhalten ko¨nnen, so ko¨nnen wir auchK undK′ einfacher berechnen. Es ist na¨mlich q= e−pi K′ K , also logq=−piK ′ K und K′=−K pi logq. (g) Kennen wir alsoK und q, so istK′ auch gegeben. Nun haben wir auf S. 173 gesehen, dass 2K pi =ϑ23 = (1+2q 2 +2q4 + · ··)2 ist, und daher liefert die Gleichung√ 2K pi = 1+2q2 +2q4 +2q9 +2q16 + · ·· (h) den Wert vonK, sobald q aus (f) bestimmt ist. Wir sehen also, dass sobald q gegeben ist, auch die Gro¨ssenK undK′ daraus berechenbar sind. 58. Wir gehen nun dazu, die elliptischen Normalintegrale II. und III. Gat- tung durch das elliptische Integral I. Gattung auszudru¨cken. Als Normalintegral II. Gattung nahmen wir nach Legendre das Integral J= ∫ z 0 z2dz√ (1−z2)(1−κ2z2) an. Setzt man z= su, so wird, da du= dz√ (1−z2)(1−κ2z2) ist, J= ∫ u 0 s2udu. Wenn wir nun s2u in integrabler Form durch die ϑ-Funktionen aus- dru¨cken, so haben wir das Verlangte geleistet.