Seite - 216 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

216 V. Berechnung des Normalintegrals annehmen. Beachtet man, dass ϑ0(u+ω) =ϑ0(u) ϑ0(u+ω ′) =−ϑ0(u)e−(2u+ω ′)piiω , also d logϑ0(u+ω) du = ϑ′0(u+ω) ϑ0(u+ω) = ϑ′0(u) ϑ0(u) d logϑ0(u+ω ′) du = ϑ′0(u+ω′) ϑ0(u+ω) = ϑ′0(u) ϑ0(u) − 2pii ω ist, und da ω= 2K, ω′= 2K1 gesetzt wurde, so ergiebt sich J(u+4K) =J(u)+4E J(u+2K1) =J(u)+2E K1 K + pii κ2K . (32) Es ist alsoJ(u) eine eindeutige Funktion vonu, welche fu¨r zundyunendlich vieldeutig wird, indem denselben Werten von z und y unendlich vieleu von der Form u+4mK+2m′K1 entsprechen und J(u) bei Aenderung von u um eine oder die andere der Gro¨ssen sich um 4E oder 2E K1 K + pii κ2K nach (32) a¨ndert. Es wird J(u) =∞ fu¨r u= ω′2 =K1, da ϑ0 ( ω′ 2 ) = 0 ist. Das entspricht dem Werte z= s(K1) =∞. Da aber znoch fu¨r den Wert 2K+K1 im Periodenparallelogramm unendlich wird, und ϑ0 ( ω+ ω′ 2 ) =ϑ0(2K+K1) = 0 ist, so wird J(2K+K1) auch unendlich.