Seite - 217 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

217 Fu¨r u=K1 wird J(u) so unendlich wie 1 ϑ0u , also einfach algebraisch. Denn es ist ϑ0 ( ν+ ω ′ 2 ) = iϑ1(ν)e − ( ν+ω ′ 4 ) pii ω = i [ νϑ′1 +ν3 ϑ′′′1 3! + · ·· ] [1+Bν+ · ·· ] ϑ0 ( ν+ ω ′ 2 ) =νiϑ′1[1+Bν+ · ·· ] 1 ϑ0 ( ν+ ω ′ 2 )= 1 iϑ′1 1 ν 1 1+Bν · ··, also wird fu¨r ν= 0   ν ϑ0 ( ν+ ω ′ 2 )   endlich und von Null verschieden, daher auch[ νJ ( ν+ ω′ 2 )] ν=0 was eben ausdru¨ckt, dass J(u) fu¨r u= ω′ 2 =K1 einfach algebraisch unendlich wird. Dasselbe gilt fu¨r∗) u= 2K+K1 =ω+ ω′ 2 . ∗) Es sind die elliptischen Integrale II. Gattung diejenigen, welche zuerst von dem Ma- thematiker Fagnano (1700—1766) betrachtet wurden und spa¨ter von Euler (1761) als eigentu¨mliche Transcendenten erkannt, von Legendre ausfu¨hrlicher studirt und alle der- artigen Integrale auf die drei Normalintegrale zuru¨ckgefu¨hrt worden sind. Das Integral zweiter Gattung trat bei der Berechnung des Ellipsenbogens auf. Indem man x=asinϕ y= bcosϕ als Gleichungen der Ellipse ansetzt, erha¨lt man fu¨r den von der y-Achse aus geza¨hlten Ellipsenbogen S= ∫ ϕ 0 √( dx dϕ )2 + ( dy dϕ )2 dϕ=a ∫ ϕ 0 √ 1−κ2sinϕdϕ, κ2= a 2−b2 a2 Fu¨hrt man u= ∫ ϕ 0 dϕ√ 1−κ2sin2ϕ