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218 V. Berechnung des Normalintegrals 59. Wir schreiten zur Berechnung der elliptischen Integrale III. Gattung. Wir gehen aus von der schon benutzten Gleichung 32 auf S. 122 ϑ20ϑ0(α+u)ϑ0(α−u) =ϑ20αϑ20u−ϑ21αϑ21u, indem wir in derselben v = α setzen und dann umit α vertauschen. Aus denselben folgt ϑ20 ϑ0(α+u)ϑ0(α−u) ϑ0αϑ 0 2u = 1−κ2s2αs2u. Nimmt man beiderseits den Logarithmus und differentiirt dann nach α, so erha¨lt man ϑ′0(α+u) ϑ0(α+u) + ϑ′0(α−u) ϑ0(α−u) −2ϑ ′ 0α ϑ0α =−2κ 2sαs′αs2u 1−κ2s2αs2u. (b) Integrirt man diese Gleichung nachu von 0 bisu, so wird κ2s′αsα ∫ u 0 s2udu 1−κ2s2αs2u= ϑ′0α ϑ0α u− 1 2 log ϑ0(α+u) ϑ0(α−u) . oder wenn man u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) z= su, a= 1 κsα und z= sinϕ=su ein, so wird S=a ∫ u 0 (1−κ2s2u)du=a[u−κ2J(u)], also bis auf das Integral I. Gattung unser Normalintegral II. Gattung. Hieraus entsprang auch der Name elliptische Integrale, den man dann auf alle Integrale von der Form∫ f[x, √ R(x)]dx ausdehnte, in denen f eine rationale Funktion von x und √ R(x) ist, wobei R(x) den 4. Grad nicht u¨bersteigt. Jacobi fu¨hrte (1826) die Umkehr z des elliptischen Integrals u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) ein indem er dieselbe als elliptische Funktion vonwmit z= sinamu bezeichnete. (Vgl. S. 186.)