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VII. Integrale doppeltperiodischer Funktionen. 61. Es sei F(u) eine eindeutige doppeltperiodische Funktion von u, wel- che die Periodenω undω′ besitzt, die wir unseren ϑ-Funktionen (S. 53) zu Grunde legten. Dann wird V = ∫ F(u)du ausgedru¨ckt durch doppeltperiodische Funktionen mit den Perioden ω und ω′, durch Integrale I., II. und III. Gattung. Die doppeltperiodischen Funktionen ko¨nnen alle durch irgend zwei mit denselben Perioden rational ausgedru¨ckt werden. Der Satz ergiebt sich sehr einfach mit Ru¨cksicht auf die in 34 S. 140 erhaltenen Resultate. Nach Gleichung II. kann man F(u) =C− n∑ i=1 ni−1∑ h=1 Ai,h h! Z(h)(u−α) setzen, wobei Z(h)(u) = dh+1 logϑ1(u) duh+1 ist. Da ferner F(u) eine eindeutige Funktion sein soll mit den Perioden ω, ω′, so ergiebt sich nach 14 S. 66, dass m∑ i=1 Ai,0 = 0 ist. Wir schreiben F(u) =C− m∑ i=1 Ai,0 d logϑ1(u−αi) du − m∑ i=1 Ai,1 d2 logϑ1(u−αi) du2 − m∑ i=1 ni−1∑ h=2 Ai,h h! dh+1 logϑ1(u−αi) duh+1 , dann folgt V =C1 +Cu− m∑ i=1 Ai,0 logϑ1(u−αi)− m∑ i=1 Ai,1 d logϑ1(u−αi) du − m∑ i=1 ni−1∑ h=2 Ai,h h! dh logϑ1(u−αi) duh