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230 I. Kurven dritter Ordnung
wenn man statt vieldeutiger Funktionen eindeutige einfu¨hren kann, selbst
wenn diese einem ho¨heren Gebiete entnommen sind. Wir werden nun sehen,
dass man die Koordinaten der Punkte der Kurve dritter Ordnung als ein-
deutige doppeltperiodische Funktionen eines Parameters darstellen kann, und
hierdurch die irrationale algebraische Funktion durch eine eindeutige Tran-
scendente ersetzt hat.
Die allgemeine Gleichung der Kurve dritter Ordnung hat die Form:
f(x,y) =A3y 3 +B3xy 2 +C3x 2y+D3x 3 +A2x 2
+2B2xy+C2y 2 +A1x+2B1y+A0 = 0, (1)
dieselbe besitzt bei allgemeinen Werten der Koeffizienten keinen Doppel-
punkt, denn fu¨r einen solchen mu¨sste
∂f
∂x =B3y 2 +2C3xy+3D3x 2 +2A2x+2B2y+A1 = 0
∂f
∂y = 3A3y 2 +2B3xy+C3x 2 +2B2x+2C2y+2B1 = 0
(2)
sein fu¨rWertex,y,dieauch(1)genu¨gen.Eliminirtmandaheraus(2)und(1)
dieKoordinatenx,y, so erha¨ltmaneineRelationzwischendenKoeffizienten
der Gleichung, die nicht stattfinden muss, sobald die Koeffizienten beliebig
sind. Findet sie statt, so hat die Kurve einen Doppelpunkt; wir wollen diesen
Fall ausschliessen.
Setzen wir die Kurve reell voraus, so sind in (1) reelle Koeffizienten vor-
handen. Ist a ein beliebiger Punkt der Kurve, so wird seine Tangente die
Kurve noch in einem Punkte a′ treffen. Wir denken uns nun eine derartige
Projektion der Kurve gemacht, dass die Tangente aa′ ins Unendliche fa¨llt
und die Punkte a, a′ in zu einander senkrechten Richtungen liegen, die wir
zuRichtungenderKoordinatenachsennehmenwollen,a soll aufderx-Achse,
a′ auf der y-Achse liegen.
Um die Form der Gleichung einer so projizirten Kurve zu erhalten, auf
welche die allgemeine Gleichung stets reduzirt werden kann, durch eine reelle
lineare Substitution fu¨r die x und y, setzen wir in (1), in welcher wir die
Koeffizienten nach der Transformation mitA′,B′ . . . bezeichnen, fu¨r y und
x· ·· yt , xt ein, und multipliziren mit t3, dann muss fu¨r t= 0 die Gleichung
A′3y3 +B′3xy2 +C′3x2y+D′3x3 = 0
fu¨r (y
x )
die drei Werte 0, 0, ∞ liefern, da die Gerade y = 0 den
Beru¨hrungspunkt a der unendlich fernen Geraden t= 0 entha¨lt, und x= 0
den Punkt a′. Es muss also
D′3 = 0, C′3 = 0, A′3 = 0
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Titel
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Autor
- Karl Bobek
- Verlag
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Ort
- Leipzig
- Datum
- 1984
- Sprache
- deutsch
- Lizenz
- PD
- Abmessungen
- 21.0 x 29.7 cm
- Seiten
- 290
- Schlagwörter
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Kategorie
- Lehrbücher