Seite - 230 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

230 I. Kurven dritter Ordnung wenn man statt vieldeutiger Funktionen eindeutige einfu¨hren kann, selbst wenn diese einem ho¨heren Gebiete entnommen sind. Wir werden nun sehen, dass man die Koordinaten der Punkte der Kurve dritter Ordnung als ein- deutige doppeltperiodische Funktionen eines Parameters darstellen kann, und hierdurch die irrationale algebraische Funktion durch eine eindeutige Tran- scendente ersetzt hat. Die allgemeine Gleichung der Kurve dritter Ordnung hat die Form: f(x,y) =A3y 3 +B3xy 2 +C3x 2y+D3x 3 +A2x 2 +2B2xy+C2y 2 +A1x+2B1y+A0 = 0, (1) dieselbe besitzt bei allgemeinen Werten der Koeffizienten keinen Doppel- punkt, denn fu¨r einen solchen mu¨sste ∂f ∂x =B3y 2 +2C3xy+3D3x 2 +2A2x+2B2y+A1 = 0 ∂f ∂y = 3A3y 2 +2B3xy+C3x 2 +2B2x+2C2y+2B1 = 0        (2) sein fu¨rWertex,y,dieauch(1)genu¨gen.Eliminirtmandaheraus(2)und(1) dieKoordinatenx,y, so erha¨ltmaneineRelationzwischendenKoeffizienten der Gleichung, die nicht stattfinden muss, sobald die Koeffizienten beliebig sind. Findet sie statt, so hat die Kurve einen Doppelpunkt; wir wollen diesen Fall ausschliessen. Setzen wir die Kurve reell voraus, so sind in (1) reelle Koeffizienten vor- handen. Ist a ein beliebiger Punkt der Kurve, so wird seine Tangente die Kurve noch in einem Punkte a′ treffen. Wir denken uns nun eine derartige Projektion der Kurve gemacht, dass die Tangente aa′ ins Unendliche fa¨llt und die Punkte a, a′ in zu einander senkrechten Richtungen liegen, die wir zuRichtungenderKoordinatenachsennehmenwollen,a soll aufderx-Achse, a′ auf der y-Achse liegen. Um die Form der Gleichung einer so projizirten Kurve zu erhalten, auf welche die allgemeine Gleichung stets reduzirt werden kann, durch eine reelle lineare Substitution fu¨r die x und y, setzen wir in (1), in welcher wir die Koeffizienten nach der Transformation mitA′,B′ . . . bezeichnen, fu¨r y und x· ·· yt , xt ein, und multipliziren mit t3, dann muss fu¨r t= 0 die Gleichung A′3y3 +B′3xy2 +C′3x2y+D′3x3 = 0 fu¨r (y x ) die drei Werte 0, 0, ∞ liefern, da die Gerade y = 0 den Beru¨hrungspunkt a der unendlich fernen Geraden t= 0 entha¨lt, und x= 0 den Punkt a′. Es muss also D′3 = 0, C′3 = 0, A′3 = 0